材料力学习题答案2在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab 上的应力。

应力的单位为MPa 。

解 (a) 如受力图(a)所示()70x MPa σ=，()70y MPa σ=-，0xy τ=，30α=o(1) 解析法计算（注：P217）()cos 2sin 22270707070 cos 6003522x yx y xy MPa ασσσσσατα+-=+--+=+-=o ()7070sin cos 2sin 60060.622x yxy MPa ασστατα-+=+=-=o (2) 图解法作O στ坐标系, 取比例1cm=70MPa, 由x σ、xy τ定Dx点, y σ、yx τ定Dy 点, 连Dx 、Dy , 交τ轴于C 点, 以C 点为圆心, CDx 为半径作应力圆如图(a1)所示。

由CDx 起始, 逆时针旋转2α= 60°,得D α点。

从图中可量得D α点的坐标, 便是ασ和ατ数值。

已知应力状态如图所示，图中应力单位皆为MPa 。

试用解析法及图解法求:(1) 主应力大小，主平面位置；(2) 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；(3) 最大切应力。

解 (a) 受力如图(a)所示()50x MPa σ=，0y σ=，()20xy MPa τ=(1) 解析法 （数P218） 2max 2min 22x y x y xy σσσσστσ+-⎛⎫⎫=±+⎬ ⎪⎭⎝⎭()()225750050020722MPa MPa ⎧+-⎪⎛⎫=±+=⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎩按照主应力的记号规定()157MPa σ=，20σ=，()37MPa σ=-02220tan 20.8500xyx yτασσ⨯=-=-=---，019.3α=-o()13max 5773222MPa σστ-+===(2) 图解法作应力圆如图(a1)所示。

应力圆与σ轴的两个交点对应着两个主应力1σ、3σ 的数值。

由x CD 顺时针旋转02α，可确定主平面的方位。

应力圆的半径即为最大切应力的数值。

主应力单元体如图(a2)所示。

(c) 受力如图(c)所示0x σ=，0y σ=，()25xy MPa τ=(1) 解析法2max 2min 22x y x y xy σσσσστσ+-⎛⎫⎫=±+⎬ ⎪⎭⎝⎭()()2500252MPa MPa ⎧+⎪==⎨-⎪⎩按照主应力的记号规定()125MPa σ=，20σ=，()325MPa σ=-02225tan 200xyx yτασσ⨯=-=-=-∞--，045α=-o ()13max 25252522MPa σστ-+=== (2) 图解法作应力圆如图(c1)所示。

应力圆与σ轴的两个交点对应着两个主应力1σ、3σ的数值。

由x CD 顺时针旋转02α， 可确定主平面的方位。

x CD 的长度即为最大切应力的数值。

主应力单元体如题图(c2)所示。

对题中的各应力状态，写出四个常用强度理论及莫尔强度理论的相当应力。

设0.25μ=，14t c σσ=。

解(a) ()157MPa σ=，20σ=，()37MPa σ=-()1157r MPa σσ== （书：247）()()()2123570.250758.8r MPa σσμσσ=-+=-⨯-=()31357764r MPa σσσ=-=+=4r σ=()60.8MPa ==()13157758.84t rM c MPa σσσσσ=-=+⨯= （书：P250，讲课没有讲）(c) ()125MPa σ=，20σ=，()325MPa σ=-()1125r MPa σσ==()()()2123250.2502531.3r MPa σσμσσ=-+=-⨯-=()313252550r MPa σσσ=-=+=4r σ=()43.4MPa == ()131252531.34t rM c MPa σσσσσ=-=+⨯=车轮与钢轨接触点处的主应力为-800MPa 、-900MPa 、-1100MPa 。

若[σ] = 300MPa ，试对接触点作强度校核。

解 ()1800MPa σ=-，()2900MPa σ=-，()31100MPa σ=-()[]()3138001100300300r MPa MPa σσσσ=-=-+===4r σ=()264MPa == []()300MPa σ≤=用第三和第四强度理论校核， 相当应力等于或小于许用应力，所以安全。

图(a)示起重架的最大起吊重量( 包括行走小车等)为W=40kN ，横梁AC 由两根槽钢组成， 材料为Q235钢，许用应力[σ]=120MPa 。

试校核横梁的强度。

解 梁AC 受压弯组合作用。

当载荷W 移至AC 中点处时梁内弯矩最大，所以AC 中点处横截面为危险截面。

危险点在梁横截面的顶边上。

查附录三型钢表（P406），槽钢的A=29.30cm 2，Iy=1370cm 4 W=152cm 3。

根据静力学平衡条件， AC 梁的约束反力为：()0C i M F =∑， 3.5sin 30 1.750RA F W -=o ①0ix F =∑， cos300x RA RC F F -=o由式①和②可得：RA F W =， cos30cos30x RC RA F F W ==o o危险截面上的内力分量为：() cos3040cos3034.6x N RC F F W kN ===⨯=o o()3.5sin 30 1.75sin 30 1.75400.5352RA M F W kN m =⨯==⨯⨯=oo g危险点的最大应力()33max 4634.6103510121229.310215210N y F M MPa A W σ--⨯⨯=+=+=⨯⨯⨯⨯ (压)最大应力恰好等于许用应力， 故可安全工作。

图(a)示钻床的立柱由铸铁制成，F=15kN ，许用拉应力[]t σ=35 MPa 。

试确定立柱所需直径d 。

解 立柱横截面上的内力分量如图(b)所示，F N ＝F=15kN ，M=0.4F=6kN ·m，这是一个拉弯组合变形问题，横截面上的最大应力33max 23234324151032610N N y F F M M A W d d d dσππππ⨯⨯⨯⨯=+=+=+ 根据强度条件[]max σσ≤，有3362341510326103510d dππ⨯⨯⨯⨯+≤⨯ 由上式可求得立柱的直径为：()()0.122122d m mm ≥=。

手摇绞车如图(a)所示，轴的直径d=30mm ，材料为Q235钢，[]σ=80MPa 。

试按第三强度理论，求绞车的最大起吊重量P 。

解 圆轴受力图、扭矩图、弯矩图如图(b)所示。

这是一个弯扭组合变形问题， 由内力图可以判定，C 处为危险截面。

其上的弯矩和扭矩分别为()0.40.2C RA M F P N m ==g()0.18C T P N m =g按第三强度理论：[]Wσ≤ （书P273） 将C M 、C T 值代入上式得()360.038010788P N π⎛⎫⨯⨯ ⎪≤= 绞车最大起吊重量为P=788N 。

电动机的功率为9kW ，转速为715r/min ，带轮直径D=250mm ，主轴外伸部分长度120l mm =，主轴直径d=40mm 。

若[σ]=60MPa ，试用第三强度理论校核轴的强度。

解 这是一个弯扭组合变形问题。

显然危险截面在主轴根部。

该处的内力分量分别为：扭矩： ()995499549120715P T N m n==⨯=g 根据平衡条件，222D D F F T ⨯-⨯=，得 ()221209600.25T F N D ⨯=== 弯矩： ()339600.12346M Fl N m ==⨯⨯=g应用第三强度理论()()()[]()max 33325830000058.3604010Pa MPa MPa W σσπ-====≤=⨯⨯ 最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，故安全。

图(a)为操纵装置水平杆，截面为空心圆形，内径d=24mm ，外径D=30mm 。

材料为Q235钢，[σ]=100MPa 。

控制片受力F 1=600 N 。

试用第三强度理论校核杆的强度。

解 这是一个弯扭组合变形问题。

空心水平圆杆的受力图如图(b)所示。

利用平衡条件可以求出杆上的反力，并作内力图(b)。

从内力图可以判定危险截面在B 处，其上的扭矩和弯矩为：()10.20.2600120T F N m ==⨯=g()71.3M N m ===g应用第三强度理论()()[]()max 43328920000089.2100240.03130Pa MPa MPa W σσπ====≤=⎡⎤⎛⎫⨯⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，可以安全工作。

图示蒸汽机的活塞杆AB ，所受的压力F=120kN ，l =180cm ，横截面为圆形，直径d=7.5cm 。

材料为Q255钢，E=210GPa ，240p MPa σ=。

规定st n = 8，试校核活塞的稳定性。

解 活塞杆的回转半径4d i === 对于两端铰支杆，μ=1，所以杆的柔度1 1.8960.075/4li μλ⨯===192.9λ=== 因 1λλ>，故可用欧拉公式计算活塞杆的临界载荷，即()()()()294222210100.075649940009941 1.8cr EI F N kN l πππμ⨯⨯⨯⨯====⨯ 工作安全因数：st 9948.288120cr F n n F ===>= 工作安全因数大于规定的安全因数，故安全。

无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。

杆端承受压力。

杆长 4.5l m =,横截面直径d=15cm 。

材料为低合金钢，200p MPa σ=，E = 210GPa 。

两端可简化为铰支座，规定的稳定安全因数为 3.3st n =。

试求顶杆的许可载荷。

解1102λ=== （书P301） 顶杆的柔度为：1 4.5120/40.15/4lli d μμλ⨯==== 因 1λλ>,属于大柔度杆，故可用欧拉公式计算临界载荷，即()()()()294222210100.1564254000025401 4.5cr EI F N kN l πππμ⨯⨯⨯⨯====⨯顶杆的许可载荷：()25407703.3cr st F F kN n ===某轧钢车间使用的螺旋推钢机的示意图如图所示。

推杆由丝杆通过螺母来带动。

已知推杆横截面的直径d=13cm,材料为Q255钢，E=210GPa ，240p MPa σ=。

当推杆全部推出时,前端可能有微小的侧移,故简化为一端固定、一端自由的压杆。

这时推杆的伸出长度为最大值，max 3l m =。