空间曲线的曲率
弧微分公式 曲率的概念与曲率的计算 曲率圆与曲率半径
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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一、弧微分公式
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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2.曲率的计算公式 K d .
ds
设y f ( x)二阶可导,
有 arctan y,
tan y,
d
y 1 y2
dx,
ds 1 y2dx. k
y 3.
(1 y2 )2
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设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
2
2a
1 costdt 2a 2 sin t dt
8a.
0
0
2
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推广: 空间曲线弧. (p.107)
: x (t), y (t), z (t). ( t )
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
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四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
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(2) 平面曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分)
:
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
注:可将上述公式推广到空间的情形
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例2 求旋轮线
x at sint
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 (dz)2
2 (t) 2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s ds 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt ( )
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例. 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大? 解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然,
当x
b 2a
时,
k最大.
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
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例:
求摆线 解：
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在顶点t
处的曲率(a
0)。
y sint , 1 cos t
(1 y2 )3/ 2 (1 ( sint )2 )3/ 2 1
1 cos t
sin3 t
2
y 1
1 ,
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b 1 f 2 (x) dx a
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例1
计算曲线
y
2
x
3 2
上相应于
x
从
a
到
b
的
3
一段弧的长度.
解
y
1
x2 ,
所求弧长为sຫໍສະໝຸດ ba1 xdx
2[(1
3
b)2
(1
3
a)2 ].
3
a
b
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空间曲线的曲率
运用微分学的理论, 研究曲线和曲面 的性质的数学分支——微分几何学.
预备知识
1. 弧微分公式与弧长计算公式
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弧微分公式
(1) 平面曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
4a sin4 t
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
2
2
Kt
1 4a
.
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三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
弧长元素(弧微分)
:
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
注:可将上述公式推广到空间的情形.(p.107)
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二、曲率概念及其计算公式 1. 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
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注意: 直线上任意点处的曲率为 0.
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
K lim
s0 s
1 R
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D 曲率中心, 曲率半径.
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注:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 .
k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
M
M
N
S2 N
弧段弯曲程度越大, 转角越大
转角相同弧段越短, 弯曲程度越大
注:曲线的弯曲程度与切线的转角大小成正比,与弧长成反比.
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y
设曲线C是光滑的，
C
MM s ,
M M 切线转角为 .
定义
o
M.
.M)
S
x
弧段MM的平均曲率为K .