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《概率论与数理统计》第一章知识小结

附加知识: 排列组合知识小结: 一、计数原理
1.加法原理:分类计数。

2.乘法原理:分步计数。

二、排列组合
1.排列数(与顺序有关):
)(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---=Λ !n A n
n =,n A A n n
==10,1 如:25203456757=⨯⨯⨯⨯=A ,12012345!5=⨯⨯⨯⨯= 2.组合数(与顺序无关):
!m A C m
n m n
=,m
n n m n C C -=
如:3512344567!447
4
7
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==A C ,211
2672757757=⨯⨯===-C C C
3.例题:(1)从1,2,3,4,5这五个数字中,任取3个数字,组成一个没有重复的3位数,共有___6034535=⨯⨯=A ____种取法。

(2)从0,1,2,3,4这五个数字中,任取3个数字,组成一个没
有重复的3位数,共有___483442
414
=⨯⨯=A A ____种取法。

(3)有5名同学照毕业照,共有__1201234555=⨯⨯⨯⨯=A _种排法。

(4)有5名同学照毕业照,其中有两人要排在一起,那么共有
_48)1234()12(4422=⨯⨯⨯⨯⨯=A A ___种排法。

(5)袋子里有8个球,从中任意取出3个,共有___38C ____种取法。

(6)袋子里有8个球,5个白球,3个红球。

从中任意取出3个,
取到2个白球1个红球的方法有___1
325C C ____种。

38876
56321
C ⨯⨯=
=⨯⨯
第一章、基础知识小结
一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含
设A ,B 为两个事件,若A 发生必然导致B 发生,则称事件B 包含于A ,记作B A ⊂。

2.和事件
事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件,记作B A Y 或B A +。

性质:(1)B A B B A A Y Y ⊂⊂
, ;
(2)若B A ⊂,则B B A =Y
3.积事件:事件A,B 同时发生,为事件A 与事件B 的积事件,记作B A I 或AB 。

性质:(1),AB A AB B ⊂⊂; (2)若B A ⊂,则A AB =
4.差事件:事件A 发生而B 不发生为事件A 与B 事件的差事件,记作()A B AB -。

性质:(1)A B A ⊂-; (2)若B A ⊂,则φ=-B A 5.互不相容事件:若事件A 与事件B 不能同时发生,即AB Φ=,则称事件A 与事件B 是互不相容的两个事件,简称A 与B 互不相容(或互斥)。

6.对立事件:称事件A 不发生为事件A 的对立事件,记作A 。

性质:(1)A A =; (2)Ω==Ωφφ,; (3)AB A B A B A -==- 设事件A,B ,若AB=Φ,A+B=Ω,则称A 与B 相互对立.记作。

7.事件的运算律
(1)交换律:BA AB A B B A ==,Y Y (2)结合律:C B A C B A Y Y Y Y )()(=
C B A C B A I I I I )()(=
(3)分配律:)()()(C A B A C B A Y I Y I Y =
)()()(C A B A C B A I Y I Y I =
(4)对偶律:B A AB B A B A Y Y ==,。

二、古典概率: 基本事件总数
所包含的基本事件数A n r A P ==)( 三、有关概率的公式
1.1)(,0)(,1)(0=Ω=≤≤P P A P φ
2.对立事件的概率:)(1)(A P A P -=
3.和事件的概率:)()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 若φ=AB ,则)()()(B P A P B A P +=
+
4.差事件的概率:)()()(AB P A P B A P -=- 若
,则)()()(B P A P B A P -=-
5.积事件的概率:)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 若A 与B 相互独立,则)()()(B P A P AB P =
6.条件事件的概率:()
(|)()
P AB P B A P A =
()
(|)()
P AB P A B P B =
7.全概率事件概率:
12,,,n A A A L 是样本空间E 上的一个划分,则
121122()()
()()
()(|)()(|)()(|)
n n n P B P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A =+++=+++L L
)|()()|()()()()(A B P A P A B P A P B A P AB P B P +=+=
8.贝叶斯公式: )
()
|()()()()|(B P A B P A P B P B A P B A P i i i i ==
重贝努利事件概率:()(1),0,1,2,3,,k k
n k n n
P k C p p k n -=-=L
本章练习
1.设A,B 为随机事件,则事件“A ,B 至少有一个发生”可表示为 B.AB C.A B U
D.A B U
2.甲,乙两人向同一目标射击,A 表示“甲命中目标”,B 表示“乙命中
目标”,C 表示“命中目标”,则C=( ) ∪B
3.甲、乙两个气象台独立地进行天气预报,它们预报准确的概率分别是和,则在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是________.
4.从0,1,2,3,4五个数字中不放回地取3次数,每次任取一个,则第三次取到0的概率为________.
5.设A ,B 是随机事件,7.0)(=A P ,()0.2P AB = ,则()P A B -=( )
A.0.1
设A ,B 是随机事件,
P(A)=,P(B)=,P(A ∪B)=,则P(AB)= . P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+(AB)=
7.设随机事件A 与B 相互独立,且()0,(|)0.6P B P A B >=,则()P A =______.
8.设随机事件A 与B 相互独立,且2.0)|(=B A P ,则)(A P =________.
9.甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取球,甲先从中任取一个球,不放回,而后乙再从盒中任取两个球,求:(1)甲取到黑球的概率;(2)乙取到的都是黑球的概率.
解:用A 表示“甲先取到一个黑球”,用B 表示“乙后取到两个黑球”,则
(1) 甲取到黑球的概率:
(2) 由题意得:
10.设某人群中患某种疾病的比例为20%.对该人群进行一种测试,若患病则测试结果一定为阳性;而未患病者中也有5%的测试结果呈阳性. 求:(1)测试结果呈阳性的概率;(2)在测试结果呈阳性时,真正患病的概率。

解:设A 表示“某人患某种疾病”,B 表示“测试结果为阳性”
11.()有甲、乙两盒,甲盒装有4个白球1个黑球,乙盒装有3个白球2个黑球.从甲盒中任取1个球,放入乙盒中,再从乙盒中任取2个球.(1)求从乙盒中取出的是2个黑球的概率;(2)己知从乙盒中取出的是2个黑球,问从甲盒中取出的是白球的概率.
解:设A表示“从甲盒中任取1个球是黑球”,B表示“从乙盒中取出的2个球是黑球”,则。

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