h

h0

1 2
g
t
2
这里t 为自变量，h 为因变量，也可记为：
h h(t)
二、极限
当自变量 x 无限趋于某一数值 x0 ( 记作x x0 ) 时， 函数 f (x) 的数值无限趋于某一确定的数值a ， 则 a 叫做 x x0 时函数 f (x) 的极限值，记作：
lim f (x) a
xx0
• 在三角函数中， 当 x 无限向正向增大时，
arctan x 无限接近 π ，用极限表示：
2
lim arctan x π
x
2
类似有： lim arctan x π
x
2
三、导数
当自变量 x 由一个数值 x0 变到另一个数值 x1 时， 后者减去前者叫作该自变量的增量，记作
函数 x＝x1－x0 .
[解] 切线斜率为 dy ，在方程中逐项对 x 求导 dx
2x 2y y 0 27
于是 y 7 x ，此即曲线在坐标为( x , y ) 2y
的点的切线斜率。
§1.1.3 单变量函数的微分
一、微分概念 定义：若 f (x) 在x 处有导数，则称 f '(x) dx 为 f
(x) 在 x 处的微分，记为dy＝ f '(x) dx 。
r rr C AB
rr A B (Ax Bx , Ay By , Az Bz )
三、矢量的标积(点乘) 两矢量相乘得到一个标量 标积。其定义为：
rr
A B AB cos
投影
根据r标积r定义 推论：
A r
B r

Ar x
Brx

Ay
Br y

r
Az
Bz
A B B A A A A2
tan

lim tan
A A

lim y x0 x

f (x0)
曲线上横坐标为x0 的一点A处的切线斜率就 是函数 f ( x ) 在 x0 处的导数值 f '( x0 ) 。
§1.1.2 导数的运算
一、基本函数的导数运算举例
1. y f (x) x2 , 求 dy dx
物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。 • 只有大小而无方向的量 — 标量，如：
温度、质量、体积。 • 需要以大小和方向表示的物理量 — 矢量，
如：速度、加速度、力。
矢量的大小 — 矢量的模 • 模等于 1 的矢量 — 单位矢量
用图表示矢量 — 用有向线段表示： 长度表示其大小，箭头表示其方向。
三、导数运算法则
以下设 u,v 为x 的函数，且导数 u’,v’ 存在 (1) 和（差）的导数，由极限的加法法则：
(u v) u v
(2) 积的导数： (uv) uv uv
(Cu) Cu
(3) 商的导数：

u v


uv uv v2
,
v0
f (x) f (0) f (0) x
x 应限于较小的值，这样可得到一系列的近似公式：
(1 x)N 1 Nx
例如
1 x 1 1 x 2
ex 1 x; ln(1 x) x
sin x x, tan x x,
[解]
dy
y
(x x)2 x2
lim lim
dx x0 x x0
x
lim(2x x) 2x x0
2. y sin x , 求 dy 及 dy
dx
dx x π
4
[解]
y

sin( x

x)
sin
x

2 sin
x 2
cos

x

x 2
[例] 若物体作变速直线运动，速度v＝v(t ) , 可
以把 t 分成许多均等小段 t ，只要 t 充分小，每 段时间中的速率近似看成是不变的，把各小 段时间内走过的路程相加，即近似为总路程， 曲折的梯形曲线下的面积即近似为总路程。
s v(t1) t v(t2 ) t v(tn ) t
矢量平移时大小和方向不变。
二、矢量的合成 1. 三角形法则：
余弦定理
C A2 B2 2ABcos
几何关系
arctan Bsin A B cos
若两个以上的矢量相加 所有的矢量首尾相连
2. 解析法
将矢量沿直角坐标轴分解，各分矢量叫分量 只 需用带正号或负号的代数值表示
1 x 3

3



1
x2

1
4
x3
3
[例2] y tan x , 求 y
[解]
y


sin cos
x x


sin x cos x sin x cos x
cos2 x
cos2 x sin2 x 1 sec2 x
(1) d(Cu) Cdu (2) d(u v) du dv
(3) d(uv) vdu udvFra bibliotek(4)d

u v


vdu v2
udv
(5) 若 y f (x), ，x 则(t)
y f [ (t)]
dy y dt ( yx xt) dt yx dx
与此对应，因变量 y 的数值由 y0 ＝ f ( x0 ) 变到 y1 ＝ f ( x1 ) ，增量为：
y y1 y0 f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0)
增量可正可负， y 与自变量的增量 相关，两者之比：
y f (x0 x) f (x0)
附录 1.1 微积分简介
§1.1.1 导数 §1.1.2 导数的运算 §1.1.3 单变量函数的微分 §1.1.4 积分
/~zhy
§1.1.4 积分
一、定积分
微分和积分是对立面的统一。
[例] 物体作匀速直线运动，路程＝速度 时间，
即s＝v t 。在 v-t 图中，路程 s 为阴影的面积。
f (x)dx (x) C
式中C 为常量，可根据具体问题所给的条件 定出此常量
[例] 已知曲线的切线斜率为 k 1 x , 4
(1) 求曲线方程 ；
(2)
若曲线经过点

2,
5 2

,
求此曲线方程
。
[解]
(1)
设曲线方程为
y

f
(x),
已知
y
1 x, 4
故
y


ydx
rr
N
AdS
S
S And S
在正法线方向的分量
§1.1.1 导数
一、函数
有两个互相联系的变量 x 和y ，每当x 取了某一 数值后，按照一定的规律就可以确定 y 的值，就 称 y 是 x 的函数，记作 y＝f（x）或 y＝y（x）， x 为自变量， y 叫因变量。
• 自由落体运动: 物体从离地面为 h0 高度处开始下 落，则物体与地面的距离依赖于时间 t 的规律是：
(4) 复合函数的导数法则，设 y＝f (v )，v＝ (x)
均有导数，则
y(x) f (v) v(x) 或 dy dy dv dx dv dx
[例1] y 2 x 1 3, 求 y 3x
[解]
1 y 2x2
1
x 3
3

1 2x2
(2) 几何意义：函数的曲线上任意一点的切线的 斜率，就是函数在这一点的导数值。
设函数 y＝ f (x) ，在曲线上 取一点A， A'是曲线上另一点， 割线AA' 和 x 轴的夹角记为 。 当A'点沿着曲线趋近于A时， 割线AA’趋近于某一极限位置 AT，显然，直线 AT 就是曲线 在A点的切线，AT与 x 轴所成 的夹角 即为变角 的极限。 导数的几何意义
cos2 x
cos2 x
[例3] y 1 x2 , 求 y
[解]
y


1
x2

1 2


1 2
1 x2
1
2
1 x2

1 1 x2
1
2 2x
x
2
1 x2
[例4] 求双曲线 x2 y2 1 在任意点的切线斜率。 27

dy

lim
y

lim
sin
x 2
cos

x

x 2

dx x0 x x0
x
2
当 x 0 时，sin x x 22
dy dx

lim
x0
cos

x

x 2


cos
x
dy cos π 2
dx x π
42
4
二、常用初等函数的导数公式
四、微分在近似计算中的应用
当 x 很小时， y dy
y f (x0 x) f (x0) f (x0) x 改为 f (x) f (x0) f (x0)(x x0)
或 f (x) f (x0) f (x0)(x x0)
当取 x0 0 时，即有近似公式
rr
(3) 若 A,r两B矢r 量垂直
AB 0
rrr
(4) 直角坐标系的单位矢量 i , j具, k有正交性