1、稳定点不动吸引子 2、稳定点极限环吸引子 3、准周期吸引子
平庸吸引子的基本特征是：第一具有低的整数维度。 第二稳定性。
二、混沌运动与奇怪吸引子
（一）Lyapounov指数 设迭代函数 f (x)，初值为 x0 ，迭代值时间序列为 x0 , x1 , x2 xn 若 x 是对初值 x0 的偏离，则各次迭 代产生的偏离为
二、生物混沌
（一）生理节律中的混沌 1、生理混沌 2、病理混沌
（二）生物混沌模型
1、研究心率失常的模型 设第n个脉冲刺激时相位为 n，下一个脉冲时相位 为 n 1，则有n1 g (n ) 令 ( max ) 2 s( 1) n g ( ) C exp[ ] n 2 n
分叉点序列 a1 , a2 ,ai ,a是几何收敛的， 而且序列中前后两点的间距之比也是收敛的。令 am1 am am 比值为
m
am am1 am1
lim 则 m m 4.66920 为Feigenbaum常数。
2、标度因子

设前后两次分叉宽度之比为 m m / m1 则有
3、无穷层次的自相似结构
4、具有分数维，连续功率谱，以及正的测度熵等
统计特征。
第三节 分形与分维
一、分形
（一）规则分形
（二）随机分形
无标度性，是指被研究的客体与尺度无关。
二、分维
用边长为 的小块覆盖边长为1的空间。如果所需 要的小块数为N，那么空间维数D f 可表示为
0
x n f
(n)
( x0 x) f
(n)
1 df ( n ) ( x) ln n dx
x0
1 n1 ln f ( xi ) n i 0
1 n1 ln f ( xi ) n i 0
称为Lyapounov指数。
（二）奇怪吸引子的主要特征
1、整体稳定性
(1/ )
Df
N
ln N ( ) D f lim ln( / ) 1
第四节 生物混沌
一、生物分形
健康动力学应以分形结构为标志。分形过程与多尺 度，宽频带相联系，这有利于生物系统去适应复杂 的环境变化。 细胞的有丝分裂过程就是分形 蛋白质的分子链具有分形的特征 DNA（脱氧核糖核酸）的自我复制方式类似于康托 儿集的生成过程。DNA是一个分形体，内部存在多 个层次。 生命体在组织和器官层次上表现出的分形性相当普 遍。
其中，C、 max 、 、 、n和s都是与脉冲强度有关的参 量。
2、神经元放电活动模型
dx ax3 bx y z 1 dt dx c dx2 y dt dz r[ s ( x x ) z ] 0 dt
x 其中a、b、c、d、r、s、 0 均为参数。
x1 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
x2 f ( x1 x1 ) f ( x1 ) f ( x1 )x1 f ( x1 ) f ( x0 )x
xn f ( xn1 xn1 ) f ( xn1 ) f ( xi )x
lim 2.50290 ，又称为第二Feigenbaum常数 m
（三）、混沌区的秩序
1、混沌带的分叉序列
2、周期3窗口和阵发混沌
3、无穷尽的自相似嵌套结构
第二节 混沌与奇怪吸引子
一、相空间与吸引子
（一）相空间 （二）吸引子
集合U由许多点组成，U内的点按某种规律运动，U 内含有子集合A，如果 （1）集合A中的点永远不会运动出A， （2）集合B中的点在t→∞时进入集合A或者无穷地接 近集合A，则A为U的吸引子。
第十八章混沌动力学基础
第一节 混沌运动

一、混沌概念

二、混沌运动
（一）、Logistic方程
xn1 axn (1 xn )
xn 定义域为[0,1]， a [0,1]
（二）、从周期倍化到混沌
三条通往混沌的典型道路：倍周期分叉道路、阵发 性道路以及准周期分叉道路。
1、Feigenbaum常数
……
n 1 i 0
将每次迭代产生的偏离用指数形式表示为
x1 e x，x2 e 2 x， xn e n x
f ( n) ( x) 表示 f (x) 的n次迭代函数，则有 再用
n 1 df ( n ) ( x) ( x0 ) x f ( xi )x e n x dx x i 0
二、 脑混沌控制
三、心脏混沌控制
3、白细胞生成控制模型
x表示粒细胞密度，表示单位时间内衰亡比例，表示 过去某时刻细胞密度，则应满足的方程为：
dx n x x n dt xn
其中， 、 、 、 、n是参量。
第五节 混沌控制及其应用
一、混沌控制
将动力学系统的混沌状态转化为预先确定的平 衡状态或周期性状态，也可以是非周期性状 态或新的混沌状态，并且实现稳定控制。这 里所指的动力学系统即可以是由微分方程描 述的连续系统，也可以是由映射描述的离散 系统。控制混沌并非消除混沌运动，而是要 达到事先确定的非混沌或混沌运动
奇怪吸引子局限于有限的区域内，会吸引附近的动 点进入自己的集合，内部动点永远都不会离开吸引 域，这表现它是一类吸引子。若以吸引子上任一点 为初值，经过多次迭代都可得到完全相同的吸引子， 这说明它对应决定方程的一个稳定解集。 2、局部不稳定为相邻轨道指数分离，运动 对初值敏感，长期预测不可能。