x
T Kε
∫∫∫ (vu uv )dV =
= ∫∫ (v
Σ
Σ + Σε
∫∫
(v
u v u ) dS n n
u v u v u ) dS + ∫∫ (v u ) dS n n n n Σε
δ 在 T K ε ， (r r0 ) = 0 。
u (r ) 和 v(r )
=
T Kε
∫∫∫ vf dV
1 a r 2 r0 r0
2
=
1 a2 a4 r 2r cos θ + 2 r0 r0
2
[ n
1 a2 r 2 r0 r0
r0 ar0 cos θ ]Σ = 2 2 2 a (a 2ar0 cos θ + r0 ) 3 / 2
3 2
1 a a cos θ a 1 r0 ar0 cos θ [ G (r , r0 )] Σ = 2 2 3/ 2 n 4π (a 2ar0 cos θ + r0 ) r0 4π a 2 (a 2 2ar0 cos θ + r0 2 )3 / 2
z0 1 2π [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z + z0 ) 2 ]3 / 2
G ( r0 , r ) u ( x, y ) = ∫∫∫ G ( r0 , r ) f ( r0 ) dV0 + ∫∫ ( r0 ) dS 0 . n n T Σ
z0 = 2π
∫∫
Σ
1 f ( x, y ) dx 0 dy 0 . 2 2 2 3/ 2 [( x x0 ) + ( y y 0 ) + ( z + z 0 ) ]
[
G (r , r0 )] Σ = [ G (r , r0 )] z =0 n z
法线方向与z轴方向相反
= =
0 z0 0 + z0 1 1 + 4π [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z0 ) 2 ]3 / 2 4π [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z + z0 ) 2 ]3 / 2
4. 泊松方程的基本积分公式 基本积分公式 点源泊松方程
v(r , r0 ) = δ (r r0 )
单位负电荷在 r0
∫∫∫ (v u u v ) dV
T
z
=
T
Kε
∫∫∫ vfdV ∫∫∫ u δ ( r r )dV
0 T T
δ (r r0 )
Σ
y
奇异，不能化为
r0
Σε
0
面积分。在 T 中挖掉半 径 ε ，在 r0 的小球 Kε 。 小球边界 Σε 。 边界条件无法带入积分之中！
T Σ
第三边值问题
[α
u + β u ] Σ = (Σ ) n
v(r , r0 ) = δ (r r0 )
[α v + βv] Σ = 0 n
v(r , r0 ) = G (r , r0 )
第三边值问 题格林函数
G [α
u + βu ] Σ = G n
u [α G + βG ] Σ = 0
n
u G α [G u ] Σ = G n n
u ( r0 ) = ∫∫∫ G ( r , r0 ) f ( r ) dV
T
∫∫ (r )G (r , r )dS . α
0 Σ
1
δ (r r0 ) 在 r0 ，在物理上是不合理的。考虑它是偶函数，
v(r0 , r ) = δ (r0 r )
具有同一个解，可作变换： r r0
1 a 4π r 2 r0 r0
2
1 1 = r r0 r 2 2rr0 cos θ + r02
在球面上
n
Σ
=
r
r =a
[
1 1 2r 2r cos θ ]Σ = n r r0 2 (r 2 2rr0 cos θ + r02 )3 / 2
r =a=Fra biblioteka a cos θ (a 2 2ar0 cos θ + r02 ) 3 / 2
1 = 4π
1 2 ∫∫ u r 2 r d Σε
= u ( r0 )
u ( r0 ) = ∫∫∫ v ( r , r0 ) f ( r ) dV
T
u ( r ) v ( r , r0 ) ]dS . ∫∫ [v ( r , r0 ) u (r ) n n Σ
这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。 基本积分公式。 基本积分公式
G ( r0 , r ) u ( r ) = ∫∫∫ G ( r0 , r ) f ( r0 ) dV0 + ∫∫ ( r0 ) dS 0 . n T Σ u ( r ) = ∫∫∫ G ( r0 , r ) f ( r0 ) dV0
T
∫∫ (r )G (r , r )dS . α
0 0 0 Σ
1
12.2
电像法求格林函数 第一边值问 题格林函数
v(r , r0 ) = δ (r r0 )
v(r , r0 ) Σ = 0
v(r , r0 ) = G (r , r0 )
r r0
导体球内有一个点电荷 ，导体接 地。求球内电势。 电荷的存在，在导体上感应了电荷。 球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。 将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示
T
T
=
∫∫∫ u vdV + ∫∫∫ u vdV
T
第二格林公式：
交换 u (r ) 和
v(r ) ：
∫∫ v u d S = ∫∫∫ v udV + ∫∫∫ v udV
Σ T T
与上式相减
∫∫ (u v v u ) d S = ∫∫∫ (u v v u ) dV
Σ T
即
n
v u ∫∫ (u n v n ) dS = Σ
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) = M 1 ( x0 , y0 , z0 )
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
G (r , r0 ) =
1 1 1 1 + 4π [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z0 ) 2 ]1/ 2 4π [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z + z0 ) 2 ]1/ 2
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
u Σ = (Σ)
v(r , r0 ) = δ (r r0 )
v(r , r0 ) Σ = 0
v(r , r0 ) = G (r , r0 )
G ( r , r0 ) dS . n
第一边值问 题格林函数
u ( r0 ) = ∫∫∫ G ( r , r0 ) f ( r ) dV + ∫∫ ( r )
r r '
ρ (r ')
边界上可能出现感应电荷
r
r
r'
处静电场是源电荷与感应电荷 的电势之和。 感应电荷是源电荷的结果。 计算变成
+++++++
由
ρ (r ')
计算感应电荷，然后
φ (r ) =
1 4πε 0
[ ∫∫∫
ρ (r ')
r r '
dr '+ ∫∫∫
ρ g (r ')
r r '
dr ']
是否能一次解决
连续。
ε →0
T Kε
∫∫∫ vf dV → ∫∫∫ vf dV
T
u 1 2 u ∫∫ v n dS = ∫∫ ( 4πε )ε n d Σε Σε
ε = 4π
u ∫∫ n d Σε
=
ε u ∫∫ d 4π n Σ ε
= ε
u n
→0
1 v ∫∫ u n dS = ∫∫ u[ r ( 4πr )]dS Σε Σε
法向导数
∫∫∫ (u v v u ) dV
T
Σ
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u = f (r )
(Σ) 定义在 Σ
u [α + β u ] Σ = (Σ ) n
α = 0, β ≠ 0 α ≠ 0, β = 0 α ≠ 0, β ≠ 0
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
t
τ =0
∫ξ
l =0
f (ξ ,τ )G ( x, t ,τ )d ξ dτ .
u ( r0 ) = ∫∫∫ v ( r , r0 ) f ( r ) dV
T
∫∫ [v ( r , r0 )
Σ
u ( r ) v ( r , r0 ) u (r ) ]dS . n n
5. 边值问题的格林函数 格林函数 第一边值问题(狄里希利问题)
T Σ
2
G ( r0 , r ) dS 0 . n
f (r ) = 0
= ∫∫
Σ
a 2 r0 1 f (θ , ) a 2 sin θ 0 dθ 0 d 0 . 4π a ( a 2 2 ar0 cos θ 0 + r02 ) 3 / 2
a = 4π
∫∫
Σ
a 2 r0 f (θ , ) 2 sin θ 0 dθ 0 d 0 . 2 3/ 2 ( a 2 ar0 cos θ 0 + r0 )