数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+ 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =,其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3,4}A =,{|32,}B y y x x A ==-∈,则A B =( )A .{1}B .{4}C .{1,3}D .{1,4}2.设变量x ,y 满足约束条件20,2360,3290,x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤则目标函数25z x y =+的最小值为( )A .—4B .6C .10D .173.在ABC △中,若AB =3BC ,=120C ∠︒,则AC =( )A .1B .2C .3D .44.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A .2B .4C .6D .85.设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“0q <”是“对任意的正整数n ,2120n n a a -+<”的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件6.已知双曲线222=1(0)4x y b b ->,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )A .22443=1y x - B .22344=1y x -C .2244=1y x - D .2224=11x y - 7.已知ABC △是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得2DE EF =,则AF BC 的值为( )A .58-B .18C .14D .1188.已知函数2(4,0,()log (1)1,0),33a x a x f x x x a x ⎧+<⎪⎨+++⎪-⎩≥（0a >,且1a ≠）在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|2f x x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 ( )A .20,3⎛⎤⎥⎝⎦ B .23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D .123,334⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知,a b ∈R ,i 是虚数单位,若(1i)(1i)b a +-=,则ab的值为 .10.281()x x-的展开式中7x 的系数为 （用数字作答）.11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示（单位:m ）,则该四棱锥的体积为 3m .12.如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,22BE AE ==,BD ED =,则线段CE 的长为 .13.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a满足|1|(2)()a f f ->,则a 的取值范围是 . 14.设抛物线22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数,0p >）的焦点为F ,准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B .设7,02C p （）,AF 与BC 相交于点E .若||2||CF AF =,且ACE △的面积为,则p 的值为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（Ⅰ）求)(f x 的定义域与最小正周期;（Ⅱ）讨论)(f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.16.（本小题满分13分）某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率; （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图,正方形ABCD 中心为O ,四边形OBEF 为矩形,平面OBEF ⊥平面ABCD ,点G 为AB 的中点,2AB BE ==. （Ⅰ）求证:EG ∥平面ADF ;（Ⅱ）求二面角O EF C --的正弦值.（Ⅲ）设H 为线段AF 上的点,且23AH HF =,求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,公差为d ,对任意的n ∈*N ,n b 是n a 和1n a +的等比中项.（Ⅰ）设221n n n c b b +=-,n ∈*N ,求证:数列{}n c 是等差数列;（Ⅱ）设1a d =,()2211nkn k k T b ==-∑,n ∈*N ,求证:21112nk kT d =<∑.19.（本小题满分14分）设椭圆的2221(3x y a a +=>的右焦点为F ,右顶点为A .已知113||||||eOF OA FA +=,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上）,垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H ,若BF H F ⊥,且MOA MAO ∠∠≤,求直线l 的斜率的取值范围.20.（本小题满分14分）设函数3()(1)f x x ax b =---,x ∈R 其中,a b ∈R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间;（Ⅱ）若()f x 存在极值点0x ,且10()()f x f x =,其中10x x ≠,求证:1023x x +=; （Ⅲ）设0a >,函数()|()|g x f x =,求证:()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14.A B{1,4}=中元素代入y3x=故选B．2AC BCcosC，2x bx2b=，，∴双曲线的方程为DD E AB D E2EF=，AF BC(AD DF)(AC AB)=+-221313311AB DE(AC AB)AB AC(AC AB)AC AB AC AB24442⎫⎛⎫+-=+-=--⎪ ⎪⎭⎝⎭，11111144228--=，故选B．3)03a log+≥[0,)+∞上，数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）数学试卷第10页（共21页）数学试卷第11页（共21页）数学试卷第12页（共21页）3334⎤⎧⎫⎨⎬⎥⎣⎦⎩⎭，故选CE DE AE EB =， AE EB 1223DE 33⨯==．EF CF 233215.【答案】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为x x k ,k Z 2⎧⎫π≠+π∈⎨⎬．数学试卷 第13页（共21页） 数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）πA B 12⎡=-⎢⎣所以，当πx 4⎡∈-⎢⎣减．16.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有3442P(A)C 3==所以，事件A 发生的概率为1． 工活动次数之和的所有结果，即可求解概率．则P(A)．（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3分别求出P(X 0)=，P(X 1)=，P(X 2)=，P(X 3)=的值，由此能求出X 的分布列和EX ．【考点】离散型随机变量的期望与方差，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列．17.【答案】解：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以AD ，BA ，OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直D(1,1,0)，E(1,1,2)--，F(0,0,2)，G(1,0,0)-．（Ⅰ）AD (2,0,0)=，AF (1,1,2)=-设n (x,y,z)=11n AD 0n AF 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，2x 0y 2z =-+=．不妨设z =，可得1n (0,2,1)=，又EG (0,1,=，可得1EG n 0=，ADF ∥平面．（Ⅱ）易证，OA (1,1=-依题意，EF (1,1,0)=，CF (1,1,2)=-设n (x,y,z)=22n EF 0n CF 0⎧=⎪⎨=⎪⎩， y 0y 2z 0=+=．不妨设x =，可得2n (1,1=-22OA n 6OA,n 3OA n ==-，于是3sin OA,n =所以，二面角O EF C --的正弦值为5A F (1=-22A H A F ⎛==- 2BH ,55⎛= ⎪⎝⎭22BH n 7cos BH,n 21BH n ==-和平面CEF 所成角的正弦值为（Ⅰ）通过证明1EG n 0=，又因为直线求出平面OEF 的法向量，利用向量的夹角公式，（Ⅲ）求出24BH ,⎛⎫= ，利用向量的夹角公式求出直线18.【答案】解：（Ⅰ）由题意得b a a =，222n 2n n(a a )a )2d2d n(n 1)2+++==+2111n 1⎛⎫-< ⎪+⎝⎭建立方程关系，19.【答案】解：（Ⅰ）设F(c,0)，由OF OA FA +=，即c a a(a c)+=-，数学试卷第16页（共21页）数学试卷第17页（共21页）数学试卷第18页（共21页），有FH (1,=-，9BF ⎛-= ，得BF HF 0=，H 12ky 04k 3=+，解得16,4⎤⎡+∞⎥⎢⎝⎦⎣⎭利用根与系数的关系求得，得11H BF HF (1x ,y )(1,y )0=---=，整理得到，得到0x 1≥，转化为关于k 的不等式求得20.【答案】解：（Ⅰ）由f (x)(x 1)ax b =---，可得f '(x)3(x 1)a =--．下面分两种情数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。