1c
1
1 l
2 c
a

b
与原结构的位移完全相等。
1 l
F R2
“c”
h
X1 1
h l
1c
1
1
1 l
1
2 c
a

b
F R1
h l
X2 1
1 l
F R2
“c”
11 X 1 12 X 2 1c 0 21 X 1 22 X 2 2c
ic F R i c
b 1 2c b l l
h hb 1c 1 a b a l l
M M1 X 1 M 2 X 2
讨论: ⑴ 等号右端可以不等于零 ⑵ 自由项的意义
⑶ 内力仅由多余未知力产生 ⑷ 内力与EI 的绝对值有关

X2 1
M2 y
x
F N 2 cos( ) cos F Q2 sin() sin
另选座标 xoy 则 y y d
y d y 1 12 ds ds d ds EI EI EI
y
y´
令 12=0
⑶ 求系数和自由项
125 3 75 2 12 21 m 13 31 m 2EI 2EI 0.48 EI 0.06 EI X1 , X2 代入方程，解得 125 125
500 3 m 3EI 125 3 22 m 3EI 10 33 EI 25 2 23 32 m 2 EI 0.42 EI , X3 25
11
2、温度内力的计算
t1 t1 t2 t1
X1 X 2
建立力法方程
t1 t2 t1
1t
t1 t2
2 t
11 X 1 12 X 2 1t 0 21 X 1 22 X 2 2t 0
计算自由项： 1t , 2t
2 1 2 N1
H —— 推力由变形条件求得；
2 Q1
关于位移计算简化的讨论；
11
M F kF ds ds ds EI EA GA
f 1 h 1 且 时 FN 10 % 不能忽略。 l 8 l 10
通常可以略去FQ 。
对于扁平拱，当
带拉杆的两铰拱：
拱的支座（墙、柱） 不再承担水平推力。
Ｃ,室内保持不变，求M 图。各杆EI 相同，线膨胀系数为α。
-35℃ -35℃ -35℃ 6m -50℃
15 C
。
。
-50℃ -50℃
6
FN 1
6
400
600 8m
0℃
X1 基本体系
M 1, F N
X1=1
解： 温度改变值： ⑴
t1 35 15 50 C
t2 15 15 0 C
⑶ 求系数和自由项，解方程
5m
M2 图, FR2
125 3 11 m 3EI
22
500 3 m 3EI
12 21
125 3 m 2EI
X1=1
5m
X2=1
1
X3=1 1
1 5m 5m M1 图, FR1 5m 1
5m
M2 图, FR2
1
M3 图, FR3
10 25 2 75 2 33 13 31 m 23 32 m EI 2EI 2 EI 1P F R1i Ci (1 0.02m 5m 0.03rad ) 0.13m
1 y EI ds d 1 EI ds
y R cos

0 0 l =10m y
ds Rd
R sin 0
x
d
2 R cos Rd
0
2 Rd
0

0
l/2 5 sin 0 0.8 R 6.25
d = 5.39m
0 0.9273 rad) (
⑶ 求H ：
11
8 f 2l 15 EI
由力法方程可得
FH
1P
11
ql 2 16 f
1 2 ql 64
⑷ 作出 M 图。
M M o FH y
A
C
B
1 2 ql 64
在一般荷载作用下，两铰拱的推力与三铰拱的推力通常是比较接近的。
§6-7 无 铰 拱
EI=
（a） （c）
2P F R 2i Ci (1 0.01m 5m 0.03rad ) 0.16m
3 P (1 0.03rad ) 0.03rad
代入方程，解得
0.06
0.06EI 2 0.48EI 2 X3 0 m X1 m X2 125 125 ⑷ 作弯矩图。 M M 1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3
x
d = 5.39m
§6-8 支座移动和温度改变时的计算
1、支座移动时的计算
X1
h
X1 1
h l
h
a
l
b
X2
1
a

b
F R1
h l
11 X 1 12 X 2 1c 0 21 X 1 22 X 2 2 c
基本方程的物理意义？ 基本结构在支座位移和基 本未知力共同作用下，在基本 X 2 1 未知力作用方向上产生的位移 1
t | 50 0 | 50 C
⑵ 力法方程
Hale Waihona Puke t0 (50 0) / 2 25 C
11 X1 1t 0
例6-6：如图所示为一抛物钱两铰拱，承受半跨均布荷载，试求其水平推力H。
设拱截面尺寸为常数，以A为原点，拱轴方程为 y
解：⑴ 位移的简化公式： 两个简化假设： q
y
4f x l x 。 2 l
① 忽略轴向变形，只考虑弯曲变形； ② 当拱较平时（如 f / l ＜1 / 3）可近 A 似地取 ds = dx，cosφ = 1。
§6-6 两 铰 拱
拱结构广泛应用于实际工程建设中。
赵州桥
两铰拱是一次 超静定结构。常选 用简支曲梁作基本 体系。
f l
X1
11 X1 1P 0
1 P M 1M P ds EI

y

1 y
略去剪力的影响； 当 f < l / 3 时， 考 虑轴力的影响。
x
MP
2
x
M 1 N1
X1= 1
11 X1 P 0 1
E、I、A

1P
M 1M P ds = 1P EI
2 1 2 2
E1、A1 l y
MP

FN 1 FN 1 M ds dx EI EA E1I1 2 2 l F N1 l 1 l dx dx 其中 0 E A 0 E A E1 A1 1 1 1 1
f x
l 2 l 2
B
11
1P
1 EI

l
0
y dx
2
l
C
1 EI
1 EI
l

l
0
yM dx
o
q
A
B
⑵ 计算δ11，Δ1P ：
11
4f 8 f 2l 2 0 [ l 2 x(l x)] dx 15EI
o
1 2 ql 16
o
M o图
计算Δ1P ，先求简支梁的弯矩 M 的方程。
（b）与（c）具有完全等效关系。
X2 X1 X2
X3
（b） 利用对称性：
此时将图（c）在对称轴位置截断，对 于两对称内力：X1 、X2 。 X1= 1作用下，基 本体系同侧受拉；X2 = 1 作用下，基本体系 异侧受拉。 当附加竖向刚臂长度变化时，就可能 使： 21 = 12 = 0 即得：
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
11 X 1 1P 0 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
y
y´
X2
0
X2
y d
y
F Q2
x
X1 X1
y
1

y
x'
y x
F N2

y

X1 1
M1 1
F N1 0 F Q1 0
y 12 ds EI
11
x
11 11
X1 =1
l E1 A1
M 1 N1
两类拱的比较： 无拉杆
H

1P
11
有拉杆 H
1P l E1 A1
E1A1 H H 相当于无拉杆 E1A1 0 H 0 简支曲梁
11
适当加大E1A1使H*较大，可减小拱肋M。H求出后，计算内力公式与前面一样。
l 0 x , 2
3 1 2 M qlx qx 8 2
o
l x l , 2
ql M (l x) 8
ql l 3 1 2 l o o x l , M (l x) 0 x , M qlx qx 8 2 8 2 2 l l 1 3 1 2 ql qfl3 1P [ 2 y( qlx qx )dx l y (l x )dx] EI 0 8 2 8 30EI 2