浙江省湖州市长兴县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知23a b =，则代数式a b b +的值为（ ） A ．52 B ．53 C ．23 D ．322．下列事件是必然事件的是（ ）A ．打开电视机，正在播放动画片B ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C ．过三点画一个圆D ．任意画一个三角形，其内角和是180︒ 3．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）A ．32πB ．2πC ．3πD ．6π 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sin A 是A ．35B ．45C ．34D ．435．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒ 6．将抛物线2y x =-向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．23()y x =-+ B ．2(3)y x =-- C ．23y x =-+ D ．23=--y x 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，13AD AB =，BC =12，则DE 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD=8cm ，AE=2cm ，则OF 的长度是（ ）A ．3cmB cmC ．2.5cmD cm9．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则BC 的长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．1610．如图，抛物线22y x x =+与直线112y x =+交于A ，B 两点，与直线2x =交于点D ，将抛物线沿着射线AB 方向平移D 经过的路程为（ ）A ．12116B ．738C ．152D ．6二、填空题11．二次函数22()1y x =-+图象的对称轴是______________．12．已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，且4a =，9b =，则线段c 的长度为______．13．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％，那么估计盒子中小球的个数是_______． 14．如图，AB 是O 的直径，点C 和点D 是O 上位于直径AB 两侧的点，连结AC ，AD ，BD ，CD ，若O 的半径是5，8BD =，则sin ACD ∠的值是_____________．15．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，点D 在边BC 上，6CD =，10BD =．点P 是线段AD 上一动点，当半径为4的P 与ABC ∆的一边相切时，AP 的长为____________．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线232y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan 3DCB ∠=，则点D 的坐标为___________．三、解答题174530︒︒18．如图，AC 、BD 交于点E ，BC CD =，且BD 平分ABC ∠．（1）求证：AEB CED ∆∆；（2）若6BC =，3EC =，2AE =，求AB 的长．19．在一个不透明的盒子中装有5张卡片，5张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，5，这些卡片除数字外，其余都相同．（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有偶数的卡片的概率是多少？（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的4张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片上标有的数字之和大于5的概率（画树状图或列表求解）．20．如果一条抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠与坐标轴有三个交点．那么以这三个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）命题“任意抛物线都有抛物线三角形”是___________（填“真”或“假”）命题； （2）若抛物线解析式为243y x x =-+，求其“抛物线三角形”的面积．21．如图是某学校体育看台侧面的示意图，看台AC 的坡比i 为1:2，看台高度BC 为12米，从顶棚的D 处看E 处的仰角18α=︒，CD 距离为5米，E 处到观众区底端A 处的水平距离AF 为3米．（sin180.31︒≈，tan180.32︒≈，结果精确到0.1米）（1）求AB 的长；（2）求EF 的长．22．如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圃，现有长为18米的篱笆，一边靠墙，若墙长6a =米，设花圃的一边AB 为x 米；面积为S 平方米．（1）求S 与x 的函数关系式及x 值的取值范围；（2）若边BC 不小于3米，这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．23．如图，四边形ABCE 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，延长AE 交BC 的延长线于点F ，点C 是BF 的中点，BCD CAE ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：CEF ∆是等腰三角形；（3）若1BD =，2CD =，求cos CBA ∠的值及EF 的长．24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知BC =1tan 2OBC ∠=．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，作PE BC ⊥于点E ，当点P 的横坐标为2时，求PDE ∆的面积；（3）若点M 为抛物线上的一个动点，以点M M ，当M 在运动过程中与直线BC 相切时，求点M 的坐标（请直接写出答案）．参考答案1．B【解析】试题分析：根据题意令a=2k,b=3k ，235=33a b k k b k ++=． 故选B ．考点：比例的性质．2．D【分析】必然事件是在一定条件下，必然会发生的事件.依据定义判断即可．【详解】A.打开电视机，可能正在播放新闻或其他节目，所以不是必然事件；B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯,也可能遇到绿灯，所以不是必然事件；C. 过三点画一个圆，如果这三点在一条直线上，就不能画圆，所以不是必然事件；D. 任意画一个三角形，其内角和是180︒，是必然事件．故选：D【点睛】本题考查的是必然事件，必然事件是一定发生的事件．3．C【分析】根据弧长公式计算即可．【详解】 解：该扇形的弧长＝9063180ππ⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：180n R l π=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 4．A【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB 的长，再根据三角函数的定义解答即可．【详解】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴， ∴sinA=35BC AB =， 故选A.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义.关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．C【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC 、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD ，计算即可．【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形 ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒ ∵CD CB = ∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒故选C ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．6．B【分析】原抛物线的顶点坐标(0,0)，再把点(0,0)向右平移3个单位长度得点(0,3)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：将抛物线2y x =-向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式2(3)y x =--． 故选：B【点睛】本题考查的是抛物线的平移.抛物线的平移可根据平移规律来写，也可以移动顶点坐标，根据平移后的顶点坐标代入顶点式，即可求解．7．B【解析】试题解析：在△ABC 中，DE ∥BC ， .ADE ABC ∴∽1.3DE AD BC AB ∴== 12.BC =4.DE ∴=故选B.8．D【解析】分析：根据垂径定理得出OE 的长，进而利用勾股定理得出BC 的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．详解：连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，BD=8cm ，AE=2cm ．在Rt △OEB 中，OE 2+BE 2=OB 2，即OE 2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt △EBC 中，==∵OF ⊥BC ，∴∠OFC=∠CEB=90°． ∵∠C=∠C ，∴△OFC ∽△BEC ， ∴OF OCBE BC =，即4OF ，解得：故选D ．点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE 的长．9．C【解析】【分析】连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆，利用相似比得到16BE =，所以20AB =，然后在Rt ABC ∆中利用正弦定义计算出BC 的长．【详解】连接BD ，如图，∵AB 为直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒，∵AD CD =，∴DAC DCA ∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，∴DAC ABD ∠=∠，∵DE AB ⊥，∴90ABD BDE ∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，∴ABD ADE ∠=∠，∴ADE DAC ∠=∠，∴5FD FA ==，在Rt AEF ∆中，∵3sin 5EF CAB AF ∠==， ∴3EF =，∴4AE ==，538DE =+=，∵ADE DBE ∠=∠，AED BED ∠=∠，∴ADE DBE ∆∆，∴::DE BE AE DE =，即8:4:8BE =，∴16BE =，∴41620AB =+=，在Rt ABC ∆中，∵3sin 5BC CAB AB ∠==， ∴320125BC =⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”是解题的关键.10．B【分析】根据题意抛物线沿着射线AB 方向平移A 向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得平移后的顶点坐标．设向右平移a 个单位，则向上平移12a 个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+12a ，令x=2,y=(a-114)²+716,由0≤a≤4,推出y 的最大值和最小值,根据点D 的纵坐标的变化情形，即可解决问题．【详解】解：由题意，抛物线沿着射线AB 方向平移A 向右平移4个单位，向上平移2个单位，∵抛物线22y x x =+=(x+1) ²-1的顶点坐标为(-1,-1),设抛物线向右平移a 个单位，则向上平移12a 个单位， 抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+12a 令x=2,y=(3-a) ²-1+12a, ∴y=(a-114)²+716, ∵0≤a≤4 ∴y 的最大值为8，最小值为716， ∵a=4时，y=2，∴8-2+2(2-716)=738故选：B【点睛】本题考查的是抛物线上的点在抛物线平移时经过的路程问题，解决问题的关键是在平移过程中点D 的移动规律．11．直线2x =【分析】根据二次函数的顶点式直接得出对称轴．【详解】二次函数22()1y x =-+图象的对称轴是x=2．故答案为：直线x=2【点睛】本题考查的是根据二次函数的顶点式求对称轴．12．6【解析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积.所以c2=4×9,解得c=±6(线段是正数,负值舍去)，故答案为6.13．30【解析】【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．【详解】解：根据题意得9n＝30%，解得n＝30，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故答案为30．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．14．3 5【分析】根据题意可知∠ADB=90°,∠ACD=∠ABD,求出∠ABD的正弦就是∠ACD的正弦值．【详解】解：∵AB是O的直径，∴∠ADB=90°∴∠ACD=∠ABD∵O的半径是5，8BD=，∴63 sin sin105 ACD ABD∠=∠==故答案为：35【点睛】 本题考查的是锐角三角函数值.15．5或203或【分析】根据勾股定理得到AB 、AD 的值，再分3种情况根据相似三角形性质来求AP 的值．【详解】解：∵在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6CD =，∴10=在Rt △ACB 中，90C ∠=︒，8AC =，6CD =，10BD =∴CB=6+10=16∵AB ²=AC ²+BC ²=①当⊙P 与BC 相切时,设切点为E,连结PE, 则PE=4，∠AEP=90°∵AD=BD=10∴∠EAP=∠CBA, ∠C=∠AEP=90°∴△APE ∽△ACB48AP PE AB AC PE AP AB AC ∴=∴=⋅=⨯= ②当⊙P 与AC 相切时，设切点为F ，连结PF,则PF=4，∠AFP=90°∵∠C=∠AFP=90°∠CAD=∠FAP∴△CAD ∽△FAP61044102063DC AD FP APAPAP ∴=∴=⨯∴== ③当⊙P 与BC 相切时，设切点为G ，连结PG,则PG=4，∠AGP=90°∵∠C=∠PGD=90°∠ADC=∠PDG∴△CAD ∽△GPD81045AC AD PG PDPDPD ∴=∴=∴=故答案为：203或5 【点睛】本题考查了利用相似三角形的性质对应边成比例来证明三角形边的长.注意分清对应边，不要错位．16．715,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据已知条件tan 3DCB ∠=，需要构造直角三角形，过D 做DH ⊥CR 于点H,用含字母的代数式表示出PH 、RH,即可求解．【详解】解：过点D 作DQ ⊥x 轴于Q,交CB 延长线于R,作DH ⊥CR 于H,过R 做RF ⊥y 轴于F,∵抛物线232y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， ∴A(1,0), B(2,0)C(0,2)∴直线BC 的解析式为y=-x+2设点D 坐标为(m,m ²-3m+2),R(m,-m+2),∴DR=m ²-3m+2-(-m+2)=m ²-2m∵OA=OB=2∴∠CAO=ACO=45°=∠QBR=∠RDH,∴,(2)DH RH m ==-(2)(4)CH CR HR m m ∴=-=--=- ∵tan 3DCB ∠=(2)3m DH CH -∴== 72m ∴= 经检验是方程的解.2277153232224m m ⎛⎫∴-+=-⨯+= ⎪⎝⎭ 715(,)24D ∴ 故答案为：715(,)24D 【点睛】本题考查了函数性质和勾股定理逆定理的应用还有锐角三角函数值的应用，本题比较复杂，先根据题意构造直角三角形．17．2【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】解：原式23=+ 11=+2=【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，要求熟记特殊角的三角函数值，记熟了就容易了． 18．（1）见解析；（2）4AB =【分析】⑴根据题意依据(AA)公理证明即可．⑵根据相似三角形性质对应边成比例求解即可．【详解】证明：（1）BC CD =，DBC D ∴∠=∠ BD 平分ABC ∠，DBC DBA ∴∠=∠D DBA ∴∠=∠又AEB CED ∠=∠AEB CED ∴∆∆（2）AEBCED ∆∆AB AE CD EC ∴= 又6BC CD ==，3EC =，2AE =，263AB ∴= 4AB ∴=【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质．19．（1）25；（2）0.6 【分析】（1）装有5张卡片，其中有2张偶数，直接用公式求概率即可．（2）根据抽取结果画树状图或列表都可以，再根据树状图来求符合条件的概率．【详解】解：（1）在一个不透明的盒子中装有5张卡片，5张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，5，5张卡片中偶数有2张，抽出偶数卡片的概率=25（2）画树状如图概率为120.620= 【点睛】本题考查了用概率的公式来求概率和树状统计图或列表统计图．20．（1）假；（2）3【分析】（1）判定是真假命题，要看抛物线与坐标轴交点的个数，当有3个交点时是真命题，有两个或一个交点时不能构成三角形．（2）先求抛物线与坐标轴的交点坐标，再求面积即可．【详解】解：（1）假命题.如果抛物线与x 坐标轴没有交点时，不能形成三角形．（2）抛物线解析式为243y x x =-+∴与y 轴交点坐标为()0,3，与x 轴交点坐标为()1,0，()3,0∴“抛物线三角形”的面积为3【点睛】本题考查了抛物线的性质，再求抛物线与坐标轴的交点组成的三角形的面积． 21．（1）24；（2）25.6【分析】（1）根据坡比=垂直高度比水平距离代入求值即可．（2）先过D 做EF 的垂线，形成直角三角形，再根据锐角三角函数来求．【详解】解：（1）AC 的坡比i 为1:2，224AB BC ∴==（2）过点D 作DH EF ⊥交EF 于点H ，在Rt EDH ∆中，27DH BF AB AF ==+=，18α=︒，27tan18270.328.64EH ∴=⋅︒=⨯=，EF EH HF EH DC BC ∴=+=++8.6451225.6425.6=++=≈【点睛】本题考查了坡比公式和锐角三角函数，锐角三角函数必须在直角三角形中求解． 22．（1）2318S x x =-+()46≤<x ；（2）当4x =时，S 有最大值，最大值是24，当5x =时，S 有最小值，最小值是15【分析】（1）根据题意可得S=x(18-3x)=-3x ²+18x（2）根据⑴和边BC 不小于3米，则4≤x ≤5,在此范围内是减函数，代入求值即可．【详解】解：（1）2(183)318S x x x x =-=-+1836318x x -≤⎧⎨<⎩， 46x ∴≤<（2）1833x -≥，5x ∴≤45x ∴≤≤223183(3)27S x x x =-+=--+∴当4x =时，S 有最大值，最大值是24，当5x =时，S 有最小值，最小值是15【点睛】本题考查的是二次函数中的面积问题，注意自变量的取值范围．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）cos CBA ∠=，65=EF 【分析】（1）根据圆的切线的定义来证明，证∠OCD=90°即可；（2）根据全等三角形的性质和四边形的内接圆的外角性质来证；（3）根据已知条件先证△CDB ∽△ADC ，由相似三角形的对应边成比例，求CB 的值,然后求求cos CBA ∠的值；连结BE,在Rt △FEB 和Rt △AEB 中，利用勾股定理来求EF 即可．【详解】解：（1）如图1，连结OC ， AB 是O 的直径，AC BF ∴⊥， 又点C 是BF 的中点，AC AC =ACB ACF ∴∆≅∆．CAB CAE ∴∠=∠OC OA =，CAB OCA ∴∠=∠又BCD CAE ∠=∠BCD OCA ∴∠=∠OCD OCB BCD OCB OCA ∴∠=∠+∠=∠+∠90ACB =∠=︒CD ∴是O 的切线图1（2）四边形ABCE 内接于O ，FEC CBA ∴∠=∠ACB ACF ∆≅∆．∴F FBA =∠∠F FEC ∴∠=∠，FC EC ∴=即CEF ∆是等腰三角形（3）如图2，连结BE ，设OC x =，EF y =，在Rt OCD ∆中，222OC CD OD +=2222(1)x x ∴+=+1.5x ∴=，3AB ∴=由（1）可知BCD CAB ∠=∠，又D D ∠=∠DCB DAC ∴∆∆，12BC BD AC CD ∴== 在Rt ACB ∆中，222AC CB AB +=BC EC FC ∴===cos 5BC CBA AB ∴∠==， AB 是O 的直径，BE AF ∴⊥，2222AB AE BF EF ∴-=-即22223(3)y y --=- 解得65EF y == 图2【点睛】本题考查了圆的切线、相似三角形的性质、勾股定理的应用，解本题关键是找对应的线段长． 24．（1）213222y x x =-++；（2）45；（3）点M 为()1,0-或()5,3- 【分析】⑴根据BC =1tan 2OBC ∠=求出B 、C 的坐标，再代入求出解析式； ⑵根据题意可证△PED ∽△BOC,再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△PED 的面积；⑶根据二次函数图象的性质及切线性质构造相似三角形来求出点M 的坐标.点M 在直线BC 的上方或在直线BC 的下方两种情况来讨论．【详解】解：（1）2BC =1tan 2OBC ∠= 4OB ∴=，2OC =，∴点B 为()4,0，点C 为()0,2代入212y x bx c =-++得： 2c =，32b =213222y x x ∴=-++ （2）当2x =时，3y =，∴点P 坐标为()2,3，点B 坐标为()4,0，点C 坐标为()0,2 ∴直线BC 解析式为122y x =-+， PD 平行于y 轴，∴点D 坐标为()2,12PD ∴=PD 平行于y 轴，PDE OCB ∴∠=∠PE BC ⊥，90PED COB ∴∠=∠=︒， PDE BCO ∴∆∆，PDE ∴∆与BCO ∆的面积之比是对应边PD 与BC 的平方，BCO ∆的面积为4，PDE ∴∆的面积是2445⨯= （3）过点M 作MG BC ⊥于点G ，过点M 作//MH AB 于点H ，MGH COB ∴∆∆，MH BC MG OC∴==M 与直线x 相切，MG ∴=5MH ∴=设点M 的坐标为213,222x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭如图1，点H 的坐标为2135,222x x x ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭代入直线122y x =-+得 2113(5)22222x x x -++=-++ 解得11x =-，25x =∴点M 的坐标为()1,0-或()5,3-图1如图2，点H 的坐标为235,22x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭代入直线122y x =-+得 2113(5)22222x x x --+=-++ 方程无解综上，点M 为()1,0-或()5,3-图2【点睛】本题考查了了二次函数图象的性质及二次函数的图形问题，（1）用图象上的点求系数；（2）用相似三角形的性质求三角形的面积；（3）构造相似三角形，利用相似三角形的性质来解决问题即可．。