2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
1.若()212
0lim 1→++=x x x e ax bx ，则A.1,12=
=-a b B.1,12=-=-a b C.1,12=
=a b D.1,12=-=a b 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是
A.()sin f x x x
= B.(
)sin f x x =C.()cos f x x
= D.(
)f x =3.设函数()()2,11,0,,10,1,0,0ax x x f x g x x x x x b x -≤-⎧<⎧⎪==-<<⎨
⎨≥⎩⎪-≥⎩-若()()f x g x +在R 上连续，则
A.3,1
==a b B.3,2
==a b C.3,1=-=a b D.3,2
=-=a b 4..设函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且
()100,f x dx =⎰则A.当()0'<f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭
f B.当()0''<f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f C.当()0'>f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭
f D.当()0''>f x 时，102⎛⎫<
⎪⎝⎭f 5.设(
)(22
22222211,,1,1ππππππ---++===++⎰⎰⎰x x x M dx N dx K dx x e 则A.>>M N K
B.>>M K N
C.>>K M N
D.>>K N M 6.
()()2202121011x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=⎰⎰⎰⎰A.5
3 B.5
6
——印校园考研
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．
指定位置上.
C.7
3 D.7
6
7.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
相似的为A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
B.101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
D.101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
8.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则
A.()().
r A AB r A = B.()().r A BA r A =C.()max{()()}.r A B r A r B =， D.()().T T
r A B r A B =二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上.9.2
lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=____________.10.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程是__________________.11.25143
dx x x +∞
=-+⎰________________________.12.曲线33cos sin x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，在4t π=对应点处的曲率为______________.13.设函数(,)z z x y =由方程1ln z z e xy -+=确定，则1(2,)2
z x ∂=∂____________.14.设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组.若11232A αααα=++，2232A ααα=+，323A ααα=-+，则A 的实特征值为_______________.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
求不定积分2arctan ⎰x e .
16.（本题满分10分）已知连续函数()f x 满足200
()()x x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰.（I ）求()f x ；（II ）若()f x 在区间[0,1]上的平均值为1，求a 的值。
17.（本题满分10分）
设平面区域D 由曲线sin (02)1cos x t t t y t
π=-⎧≤≤⎨=-⎩与x 轴围成，计算二重积分(2)D x y dxdy ⎰⎰+.18.（本题满分10分）
已知常数ln 21k ≥-，证明：2(1)(ln 2ln 1)0
x x x k x --+-≥19.（本题满分10分）
将长为2m 的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
20.（本题满分11分）
已知曲线L ：24(0)9
y x x =≥，点(0,0)O ，点(0,1)A ，设P 是L 上的动点，S 是直线OA 与直线AP 及曲线L 所围成图形的面积，若P 运动到点(3,4)时沿x 轴正向的速度是4，求此时S 关于时间t 的变化率。
21.（本题满分11分）
设数列{}n x 满足：10x >，11(1,2,...)n n x x n x e
e n +=-=，证明{}n x 收敛，并求lim n n x →∞。
22.（本题满分11分）
设实二次型2221231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++，其中a 是参数。
（1）求123(,,)0f x x x =的解
（2）求123(,,)f x x x 的规范形
23.（本题满分11分）已知a 是常数，且矩阵1213027a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭可经初等列变换化为矩阵12011111a B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
（1）求a
（2）求满足AP B =的可逆矩阵P。