江苏省江都中学2020-2021学年度第一学期12月阶段测试高一年级数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.计算4cos 3π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A.12B.12-C.2-D.22.设集合|18045,2k M x x k ⎧⎫==⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭Z ，|18045,4k N x x k ⎧⎫==⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭Z ，那么（ ） A.M N =B.M N ⊆C.N M ⊆D.M N =∅3.图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A.12、3、-1 B.-1、3、12C.12、-1、3 D.-1、12、3 4.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点sin,cos 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A.2-B.12-C.12 D.25.函数()213()log 6f x x x =--的单调递增区间是（ ）A.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.13,2⎛⎫--⎪⎝⎭D.1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6.函数()lg(||1)f x x =-的大致图象是（ ）ABCD7.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（ ）A.7042cm B.3522cmC.14082cmD.3202cm8.已知函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足：对任意实数1x ，2x ，当12x x <时，总有()()120f x f x ->，那么实数a 的取值范围是（ ） A.11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,73⎛⎫⎪⎝⎭D.1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9.下列说法正确的有（ ） A.若a b >，则22ac bc >B.若22a bc c>，则a b > C.若a b >，则22ab> D.若a b >，则22a b >10.下列命题正确的是（ ）A.若函数()f x 在(,0]-∞和[0,)+∞上都单调递增，则()f x 在R 上单调递增B.“1x ∀<，21x <”的否定是“1x ∃≥，21x ≥” C.“0a =”是“0ab =”的充分不必要条件D.“1x ≥且1y ≥”是“222x y +≥”的必要不充分条件11.已知()f x 是定义在R 的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则下列说法不正确的是（ ） A.当0x <时，2()2f x x x =-+B.()f x 的最小值为-1C.函数()f x 的单调增区间为[1,0][1,)-+∞D.若方程 ()f x m =有2个不同的实数解，则0m > 12.已知a ，b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（ ） A.14ab ≤B.12ab ab+≥C.112a b+≥≤三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.已知角θ的终边过点4(3,)P -，求sin θ等于__________.14.已知()log a f x x =（0a >，1a ≠），若对任何[3,)x ∈+∞，都有|()|1f x ≥成立，则a 的取值范围是___.15.若18090α-︒<<-︒，且()1cos 753α︒+=，则()cos 15α︒-=__________. 16.已知函数()()22ln 1,1()ln 45,1x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，若关于x 的不等式()(1)f x f ax <+的解集中有且仅有两个整数，则实数a 的取值范围为__________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知集合3|04x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{|213}B x m x m =-≤<+. （1）当1m =时，求A B ；（2）若AB A =，求m 的取值范围.18.（本小题满分12分）（1）已知3sin(3)2sin 2ππαα⎛⎫+=+⎪⎝⎭，求sin 4cos 5sin 2cos αααα-+的值；（2）已知sin()cos()3a παπ--+=（2παπ<<），求sin cos αα-的值. 19.（本小题满分12分）设命题p ：实数x 满足3a x a <<，其中0a >；命题q ：实数x 满足1x ≤或2x ≥. （1）若1a =，且p ，q 均为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 取值范围.20.（本小题满分12分）已知不等式22log (1)log (72)x x +≤-. （1）求不等式的解集A ；（2）若当x A ∈时，不等式1114242x xm -⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭总成立，求m 的取值范围. 21.（本小题满分12分）新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病.面对前所未知，突如其来，来势汹汹的疫情天灾，中央出台了一系列助力复工复产好政策.城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利.根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：415t ≤≤，t N ∈，平均每趟快递车辆的载件个数()p t （单位：个）与发车时间间隔t 近似地满足2180015(9),49()1800,915t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩，其中t N ∈. （1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t 的值： （2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益6()7920()80p t q t t-=-（单位：元），问当发车时间间隔t 为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益. 22.（本小题满分12分）已知函数2()42f x mx x =--（m ∈R ）.（1）若()f x 在区间[]1,2上是单调减函数，求m 的取值范围： （2）若方程()0f x =在区间[]2,1--上有解，求m 的取值范围： （3）设()()f x g x x=，若对任意的正实数m ，总存在0[1,2]x ∈，使得()0g x k ≥，求实数k 的取值范围.参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题 ,23 ⎥⎝⎦四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解：（1）当1m =时，}|14{B x x =≤<，}|43{A x x =-<≤，所以}|13{A B x x =≤≤（2）因为AB A =，所以B A ⊆当B =∅时，213m m -≥+解得4m ≥，当B ≠∅时，21321433m m m m -<+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩，解得302m -<≤综上，m 的取值范围是3,0[4,)2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦18.解：（1）由已知得sin 2cos αα=，所以原式2cos 4cos 152cos 2cos 6αααα-==-⨯+.（2）由sin()cos()3παπα--+=，得sin cos 3αα+=①，将①两边平方得212sin cos 9αα+=，故72sin cos 9αα=-，所以716(sin cos )212sin cos 199αααα⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭.又2παπ<<，所以sin 0α>，cos 0α<，sin cos 0αα->，则4sin cos 3αα-=. 19.解；（1）当1a =时，命题p ：实数x 满足13x <<. 因为p ，q 均为真命题，所以}2{3|x x x ∈≤<.（2）因为p 是q 的充分不必要条件。

所以集合{}0|{1|32},0a a x a x x x <<>⊆≤≥或所以①31a a ≤⎧⎨>⎩即103a <≤，②2a a ≥⎧⎨>⎩即2a ≤，综上所述，}1{|023a a a a ∈<≤≥或. 20.解：（1）由己知可得：1012172x x x x+>⎧⇒-<≤⎨+≤-⎩，因此，原不等式的解集为(1,2]-；（2）令111()4242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则原问题等价min ()f x m ≥，且11()44242xxf x ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11,224xt ⎛⎫⎡⎫=∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，可得221()442412f x t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12t =时，即当1x =时，函数()y f x =取得最小值，即min ()(1)1f x f ==，∴1m ≤. 因此，实数m 的取值范围是(1],-∞.21.【解】（1）当915t ≤≤时，18001500≤，不满足题意，舍去. 当49t ≤<时，2180015(9)1500t --≤，即218610t t -+≥.解得9t ≥+9t ≤- ∵49t ≤<且N t ∈，∴4t =. 所以发车时间间隔为4分钟.（2）由题意可得4410901540,49,()288080,915,t t t N t q t t t N t⎧⎛⎫-++≤<∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≤≤∈⎪⎩当49t ≤<，7t =时，1540280q ≤-=（元） 当915t ≤≤，9t =时，2880802409q ≤-=（元） 所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）.22.【解】（1）当0m =时，()42f x x =--，满足在区间[]1,2上是单调减函数，符合；当0m >时，要使()f x 在区间[]1,2上是单调减函数，则需22m≥，即01m <≤； 当0m <时，要使()f x 在区间[]1,2上是单调减函数，则需21m≤，成立，即0m <； （2）由()0f x =，即2420mx x --=在区间[2,1]--上有解， 则242x m x +=在区间[2,1]--上有解. 令1t x=，设2()24u t t t =+. 则题意即为方程()m u t =在11,2t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上有解，所以322m -≤≤-.。