湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题. 1.已知复数23(,1iz a R i ai+=∈+为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）. A.23B. 32C. 23-D. 32-【答案】C 【解析】 【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后令实部等于0，虚部不等于0，求出a 即可． 【详解】解：复数()()()()()()()2222312332322323111111i ai a a i a i i a z ai ai ai a a a +-++--++====+++-+++ 它是纯虚数，230a +=解得23a =- 故选：C ．【点睛】本题考查复数的基本概念的应用，考查计算能力，属于基础题。

2.已知命题p ：“0(2,2)x ∃∈-，0(,1)P x 在椭圆22143x y +=上”，p 的否定记为p ⌝，则（ ）.A. p ⌝是“0(2,2)x ∃∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是真命题B. p ⌝是“(2,2)x ∀∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是假命题C. p ⌝是“(2,2)x ∀∈-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是假命题D. p ⌝是“(2,2)x ∀∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y +=上”，它是真命题【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题求出p ⌝，根据特殊值判断p ⌝为假。

【详解】解：已知命题p ：“0(2,2)x ∃∈-，0(,1)P x 在椭圆22143x y+=上”则p ⌝是“(2,2)x ∀∈-，(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”当1y =时221143x +=解得3x =±()2,2-即存在两点⎫⎪⎪⎝⎭和⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，故p ⌝为假命题， 故选：C【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定及命题的真假判断，属于基础题。

3.“1m =”是“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”的（ ）. A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要的条件【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直求出参数m 的值，然后根据充分条件必要条件进行判断.【详解】解：由题意直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直，()()()44340m m m m ∴+-++=解得4m =-或1m =即当1m =时，可以得到“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直” 故“1m =”是“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”的充分条件，由“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”得不到“1m =” 故“1m =”是“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”的不必要条件，综上：故“1m =”是“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”的充分不必要条件 故选：B【点睛】本题考查了直线的为关系的判断条件，充分必要条件的定义，属于容易题． 4.已知两条不同直线,m n 与三个不同平面,,αβγ，则下列命题正确的个数是（ ）. ①若αβ⊥，m α⊥，//n β，则m n ⊥ ②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ ③若αβ⊥，m β⊥，则//m α ④若//m α，m n ⊥，则n α⊥ A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中的线、面位置关系，对四个命题分别进行分析判断，即可得出结论．【详解】解：对于①，当αβ⊥，m α⊥，//n β时，有//m n 或相交或m 与n 是异面直线，∴①错误；对于②，当αγ⊥，βγ⊥时，//αβ或α与β相交，②错误；对于③，若αβ⊥，m β⊥，则直线m 与平面α平行或直线m 包含于平面α，③错误； 对于④，若//m α，m n ⊥，则直线n 与平面α可能垂直、相交或直线n 包含于平面α，④错误；综上，没有正确的命题． 故选：A ．【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，要注意判定定理与性质定理的综合运用．5.已知圆C 与直线y x =-及40x y ++=均相交，四个交点围成的四边形为正方形，则圆C 的半径为（ ）.A. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】可知直线y x =-与40x y ++=互相平行，则两平行线之间的距离即为正方形的边长，正方形的对角线即圆的直径。

【详解】解：因为直线y x =-与直线40x y ++=互相平行，两直线之间的距离d ==由题意，圆C 与两直线相交，四个交点围成的四边形为正方形， 则两平行线之间的距离即为正方形的边长，正方形的对角线即圆的直径。

设圆的半径为r ，()((2222r ∴=+解得2r = 故选：C .【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，属于中档题。

6.椭圆2218x y m +=的焦距为6，则m 的值为（ ）.A. 10B. 17C. 10或【答案】B 【解析】 分析】对焦点分类讨论，利用a ，b ，c 的关系即可得出．【详解】解：由题意3c =，2229c a b =-= 当焦点在x 轴时，2a m =，28b = 89m -=，解得17m =．当焦点在y 轴时，28a =，2b m = 89m -=，解得1m =-．因为0m > 所以17m = 故选：B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知12,F F 是椭圆221108x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，且△12F PF 是直角三角形，则△12F PF 的面积为（ ）.或8 或8 【答案】B 【解析】 【分析】由12F PF ∆为直角三角形，则分两种情况①1290F PF ∠=︒，②2190PF F ∠=︒（或1290PF F ∠=︒）讨论，分别求出12F PF ∆的面积。

【详解】解：由椭圆方程为：221108x y +=，则a =，b =c =12F PF ∆Q 为直角三角形①当1290F PF ∠=︒时，在12F PF ∆中，有2221221F F PF PF =+，12F F =21PF PF +=，消元得(()22211PF PF =+，方程无解，故舍去.②当2190PF F ∠=︒（或1290PF F ∠=︒）时，12F F =2PF =12141085222F PF S ∆∴=⨯⨯=综上12855F PF S ∆= 故选：B【点睛】本题考查焦点三角形的面积问题，注意对角进行分类讨论，属于中档题。

8.已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A. 2B.12C.335 【答案】D 【解析】 【分析】取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角B CD A --的余弦值。

【详解】解：如图取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，令棱形ABCD 的边长为2，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()3,0D ，(3B设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =r，(1,0,3BC =--u u u r Q ，(3,3BD =-u u u r30330x z y z ⎧-=⎪=令3z =3y =3x =- 即(3,3n =-r平面ACD 的法向量为()0,0,1m =u r令二面角B CD A --的夹角为θ35cos 5115n m n mθ===⨯r u r g r u r因二面角B CD A --为锐二面角5cos 5θ=故选：D【点睛】本题考查求二面角二余弦值，关键是准确的建立空间直角坐标系，属于中档题。

9.如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A. 2B. 3C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2CD u u u r ，则CD 的长可求．【详解】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ， Q CA AB ⊥u u u ru u u r，BD AB ⊥u u u r u u u r，∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u rg ，()1||||cos 1801201212CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r g ．∴2124219CD =+++⨯=u u u r，||3CD ∴=u u u r，故选：B ．【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知F 为双曲线22221x y a b-=的一个焦点，B 为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点O 为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线BF 相切，则双曲线的离心率为（ ）.A.2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出直线BF 的方程，利用点到线的距离公式，得到a 、b 、c 的方程，即可求出离心率。

【详解】由题意，设(),0F c ，()0,B b ，则直线BF 的方程为：1x yc b+=， 因为以坐标原点O 为圆心，半焦距为直径圆恰与直线BF 相切，故原点到直线BF 的距离为2c2c =两边同时平方得222224b c c b c =+ 222c b a =+Q223b c ∴=()2223c a c ∴-= 2223c a ∴=e ∴=故答案为：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于中档题。