的焦点弦AB的中点，
P
N为M在直线l : x 4
上的射影，AB与l交 于点P，比较PA PB
B
F
M
N
与PN2的大小。
A
垂径弦MN 通 径AB
垂轴弦与通径
N B
F A M
垂轴弦的性质（1）
直线l垂直于x轴且与
椭圆 x2 y2 1相交 43
于MN两点，AB是椭
圆的左右顶点，求证：
AM和BN的交点在双
EF是圆N：x2 y - 22 1的
一条直径，求PE PF的取值
范围。
P
E NF
椭圆中的四边形（1）
过椭圆 x2 y2 1右焦点 62
F且斜率为1的直线交椭
圆于A、B两点，设M为
椭圆上任意一点，且
B
OM OA OB。求 证：2 2 1.
O Q
A
椭圆中的四边形（2）
P
一点，求PQ的最小值。
Q
椭圆 x2 y2 1，圆 25 16
A：x - 32 y2 1，圆 B：x - 32 y2 1，P
是椭圆上的一点，M、 N分别是圆A、圆B上 一点，求PM PN的最 小值和最大值。
椭圆和圆综合（2）
P
A
B
M
N
椭圆和圆综合（3）
P是椭圆x2 y2 1上一点， 43
M
AB
设动圆半径r，消r
圆A：x 32 y2 100，
圆B（x - 3）2 y2 4，
动圆M和定圆A 相内切,与定圆B 相外切，求动圆 圆心M的轨迹方 程。
设动圆半径r，消r
多圆轨迹（2）
M
A
B
圆A：x 32 y2 100，
圆B（x - 3）2 y2 4，
椭圆专题复习
上饶中学数学组 俞振 2013、12、19
目录
第一定义（焦点三角形） 弦长与弦中点
第二定义（直角梯形）
椭圆中的三角形
第三形式（顶点三角形） 椭圆中的四边形
第四形式（圆的伸缩）
椭圆和圆
轨迹方程与标准方程 最值与取值范围 定点与定值 存在性问题
第五形式（参数方程）
椭圆的第一定义（焦点三角形）
点P2,1, 作斜率互为
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相反数的两直线交椭
圆于M、N，则MN 的斜率为定值。
MN
焦点弦的性质（1）
椭圆 x2 y2 1，A、 43
B是椭圆的左右顶点，
过右焦点F的直线l交
Q N
椭圆于M、N两点，
AN和BM相交于点Q， A
FB
求证：点Q一定在某
定直线上。
M
焦点弦的性质（2）
椭圆 x2 y2 1,过右 43
内接矩形面积的最大 值。
求椭圆内接矩形面积 的最大值。
普通弦MN 焦点弦AB
普通弦长和焦点弦长
N B
F
M
A
弦中点问题
椭圆 x 2 y2 1. 43
（1）G1，-1为弦MN的
中点，求MN的方程。 （2）若弦MN的斜率为 1，求中点G的轨迹方程。 （3）若弦MN过右焦点F，
求中点G的轨迹方程。
PH垂直右准线于H， 求2PQ PH的最小值。
Q H
P
改编题（3）
椭圆 x2 y2 1上一 43
点P，Q1,1，过P作
PH垂直右准线于H，
求2PQ PH的最小值。
H QP
椭圆的第三形式（顶点三角形）
椭圆 x2 y2 1，A、 43
B是椭圆的左右顶点，
P是椭圆上异于AB的
A
P B
存在性问题（2）
过右焦点作斜率为k的直线与 椭圆交于MN两点，问：在x轴 上是否存在点P（m，0），使得
PQ PM PN时，四边形PMQN 为菱形，且点Q在椭圆上？若存 在，求出m的值，若不存在，说 明理由。
N
P Q
M
存在性问题（3）
过点P- 4,0交椭圆
x2 y2 1于MN两 43
动圆M和定圆A 相内切,也与定圆 B相内切，求动 圆圆心M的轨迹 方程。
设动圆半径r， 消r
多圆轨迹（3）
M
A
B
焦点三角形的应用（2）：求方程
椭圆 x2 a2

y2 b2
1中，过
右焦点F2作直线交椭圆
于A、B两点，若三角形
F1AB的周长为8，离心率
为 1，求椭圆方程。
F1
2
A F2 B
焦点三角形的应用（3）：求e
过原点的两直线l1、l2
分别交椭圆x2 y2 1
84
于AB、CD四点，若
B
kAB
kCD


1 ,求证：四 2
C
边形ABCD 的面积为定值。
D A
存在性问题（1）
椭圆中的过右焦点F且斜率为k
的弦AB，问：是否在右准线上
存在点P，使得△ABP 为正三角
形？若存在，求出P点坐标；若
不存在，说明理由.
点，若MP PN，
N
MQ -QN，问Q M
Q
是否在定直线上？ P
圆 x2 y2 1于MN两 84
点，若kOM , kMN,kON成 等比数列，求△OMN 的面积的取值范围。
N O
M
原点三角形（4）
不经过原点的直线l交
椭圆 x2 y2 1于MN 84
两点，若kOM kON 1,
求△OMN的面积的取
N
值范围。
O
M
原点三角形（5）
不经过原点的直线l交
PF1 PF2 2a(2a 2c)
求轨迹。
求方程。
F1
求e。
P F2
焦点三角形的应用（1）：求轨迹
在△ABC 中，B- 3,0，
C3,0，三角形的周长 P
为16，求顶点A的轨迹
方程。
F1
F2
多圆轨迹（1）
动圆M和定圆A：x 32 y2 100
相内切，且 过定点B（3,0），求 动 圆圆心M的轨迹方程。
椭圆 x2 y2 1相交 43
于M、N两点，P是椭
M
圆上不与顶点重合的
P
任意一点，MP、NP
分别交x轴于E、F。若
N
FE
ME EP，NF FP，则
0.
椭圆和圆综合（1）
P是椭圆 x2 y2 1上 25 16
的任意一点，Q是圆
x - 32 y2 1上任意
线l交椭圆于MN两点，
（1）直线l过右焦点.
求△OMN的面积的取
N
值范围。
O
（2）直线l的斜率为1，
求△OMN的面积的取
M
值范围。
原点三角形（2）
不经过原点的直线l交
椭圆 x2 y2 1于MN 84
两点且kOM
kON


1 2
,
则△OMN的面积为定
值。
N O
M
原点三角形（3）
不过原点的直线l交椭
焦半径公式 有k，e ， 的关 系
F
H2
Q
焦半径公式的应用
椭圆 x2 y2 1有点P， 25 16
求（1）| PF1 | | PF2 |的取
值范围。（2）PF1 PF2的 取值范围。
P
F1
F2
直角梯形的应用
椭圆 x 2 y2 1, F是右 43
焦点，过F作直线交椭
圆于A、B两点。
点差法、韦达定理
M O
G N
对称问题(1)
x2 y2 1,l : y x m, 43 若椭圆上存在两点关于 l对称，求m的取值范围。 A
G
B
对称问题（2）
x2 y2 1,l : y k x 1 ,
43
4
若椭圆上存在两点关于
A
l对称，求k的取值范围。
G
A
曲线 x2 y2 1上。 43
M Q
B N
垂轴弦的性质（2）
直线l垂直于x轴且与
椭圆 x2 y2 1相交 43
于M、N两点，P是椭
M
圆上不与顶点重合的
P
任意一点，MP、NP
FE
分别交x轴于Em，0，
N
Fn，0。问：m n是否
为定值？
垂轴弦的性质（3）
直线l垂直于x轴且与
B
(1)若AF 2FB，求直线
的斜率。
F
(2)设AF FB，且B在
A
x轴上方。若直线的斜
率为 3，，求。
距离和最值（2）
椭圆 x2 y2 1上一 43
点P，Q1,1，F是右
焦点，求PQ 2PF的
最小值。
P Q
F
改编题（2）
椭圆 x2 y2 1上一 43
点P，Q1,4，过P作
椭圆 x2 y2 1于MN 84
两点，若kOM kON 1,
求证： 1 OM
2

1 ON 2
为定
值。
N O
M
椭圆的顶点直角三角形
在椭圆 x2 y2 1中，
43
过左顶点A作两条互相
N
垂直的直线交椭圆于M
N两点，则MN的连线
A M
过定点。
椭圆内接三角形
过椭圆 x2 y2 1上 82
焦点F作直线和椭圆 交于MN两点，问： 是否在x轴上存在点Q， 使得x轴平分MQN？
M
F
Q