第十二章微分方程答案一、选择题1．下列不是全微分方程的是 C 1A. ( x2 y)dx ( x 2 y)dy 0B. ( y 3x2)dx (4 y x)dy 0C.3(2 x3 3xy2 )dx 2(2 x2 y y2 )dy 0D. 2x( ye x2 1)dx e x2 dy 02. 若y3是二阶非齐次线性方程(1): y P(x) y Q(x) f (x) 的一个特解， y1, y2是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（c1 ,c2 , c3为任意常数） C 2A. c1y1 c2 y2是(2)的通解B. c1y1 y3是(1)的解C. c1 y1 c2 y2 c3 y3是(1)的通解D. y2 y3是(1)的解3．下列是方程xdx ydy x2 y2 dx 的积分因子的是 D 2A. x2 y2B. 1y 2 C. x2 y2 D. 1y2x2 x24．方程d3 y x d 2 y 2 x1 的通解应包含得独立常数的个数为（ B ） . 1 dx3 e dx2 e(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 05．已知方程y ' p(x) y 0 的一个特解y cos 2x ，则该方程满足初始特解y(0) 2 的特解为（ C ）. 2(A) y cos2x 2 (B) y cos 2x 1 (C) y 2cos 2x (D) y 2cos x6．方程d3 y x d 2 y 2 x1 的通解应包含得独立常数的个数为（ B ） . 1 dx3 e dx2 e(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 07．设线性无关的函数y1, y2, y3都是微分方程y '' p(x) y ' q( x) y f ( x) 的解，则该方程的通解为（D）. 2(A) y c1 y1 c2 y2 y3 (B) y c1 y1 c2 y2 (c1 c2 ) y3(C) y c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y3 (D) y c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y38．设方程y '' 2 y ' 3y f ( x) 有特解y *，则其通解为（ B ） . 1(A) c1e x c2e3x (B) c1e x c2 e3 x y *(C) c1 xe x c2 xe3 x y * (D) c1e x c2e 3 x y * 9．微分方程y ' y cot x 0 的通解为（ A ） . 1(A) y c sin x (B) yc(C) y c cosx (D)c sin xycosx10. 方程y cos x的通解为 ( C ) 1(A) y sin x c1x c2(B) y sin xc1x c2(C) y cosxc1 x c2 (D) y cos x c1 x c2 11. y e x 的通解为 ( C ) 1xe x(A) e (B)x c 1 x c 2 x 1 x c 2(C) e (D) e cy 2 y y 3 x y 4012. 微分方程 B ) 1的阶是 ((A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 413. 下列微分方程中，属于可分离变量方程的是( C ) 1(A)x sin xy dx ydy 0 (B) y ln x ydy x sin y y 1 y e x y2(C) dx (D) x14.方程y 2 y 0 的通解是（ C ） 1A. y sin 2x ；B. y 4e2x；C. y ce2x；D. y e x c 。

15. 下列函数中的（ D ）是微分方程式y 7 y 12 y 0 的解。

1A. y x3；B. y x2；C. y e2x；D. y e3x。

16. 以 e x和 e xsin x为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是（ D ） 2（A） y 2 y y 0 （B） y 2 y 2 y 4（C）yy 0 （D）无这样的方程。

17.y2yy x 21*可设为(C ) 2的特解 y(A) y * e x A x 2Bx C (B)y*A x 3B x 2 Cx D(C)y* A x 2 Bx C(D)y* x e x A x 2Bx Cyt cos 2tsin 2t 的一个特解，则该方程的通解是（18. 若4 是方程y4 yA）yc 1 sin 2t c 2 cos 2ttcos2tyc 1sin 2ttcos 2t（A ）4（ B ）4（ C ） yc1c2te 2ttcos 2t（ D ） yc 1e2tc 2e2 ttcos 2t4419. 下列各微分方程中是一阶线性方程的是（B）1（ A ） xyy 2 x（ B ） yxy sin x（ C ）yyx（ D ） y2xy 020. 方程y2 y 5 ysin 2x的特解可设为（D）2（ A ）y x a sin 2x（ B ）y a sin 2x（ C ）yx a sin 2x b cos 2x（ D ）yasin 2x b cos2x二、 填空题1、以 yc 1 c 2t c 3t 2 e t （ c 1, c 2 , c 3 为任意常数）为通解的常微分方程是d 3y3 d 2 y 3 dyy 02dt 3dt 2dt2、若 1, x 2, x 4 是某个二阶非齐次线性常微分方程的三个特解，那么该方程的通解是c 1 ( x 2 1) c 2 ( x 4 1) 1 （ c 1, c 2 为任意常数）13. 微分方程 dyy 2cosxdx 的通解 :y11sin x c4. 微分方程 xdyydx y 2e ydy 的通解是 : xy( c e y ) 15.微分方程 ydx+(y-x)dy=0 的通解是 :x ln yc2y6．以 y cos 2xsin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是y ''4y 0 。

2dyf yy u, y7．解形如dxxxu xu的微分方程， 求解时可作的变量代换18 ． 微 分 方 程y4y 3y的 通 解y=1x2 3xC eC e19．微分方程 y"+2y ˊ+2y=0的通解是 y e x C 1 cosx C 2 sin x。

110、微分方程 y10 y 34 y 0 的通解是ye 5 x(c 1 cos3x c 2 sin 3x)1三、 计算题1．解方程 (x1) dy ny e x ( x 1)n 1 ，这里 n 为常数。

2dx解： 将方程改写为dyn y e x ( x 1)n 。

dxx 1首先求齐次方程dy x n y 0 的通解为 y c( x 1)ndx 1再设 yc( x)( x 1)n，于是dydc( x) (x 1)n n( x 1)n 1 c( x) ，带入原方程，得dc( x)dx dxe x ，即 c( x) e x C ， C 为任意常数。

dx于是原方程通解为y (e x C)( x 1)n 。

5 ＃d 3xx 022．解方程dt 3解： 特征方程为31 0 ，它的根为1, 1 3i 。

2 2于是原方程解为c 1e t1 t33ze 2 (c 2 cos t c 3 sin t ) 。

c 1 , c 2 , c 3 为任意常数4＃2 23．解方程dyy tgy2dxx x解： 作变量代换y , dydu x du utgu 。

即xdxdxdxdu dx，解得 sin ue c x ，此外还有解tgu 0 ，即 sin u0 。

于是方程通解为tguxsinu cx ，这里 c 为任意常数。

代回原来变量，得原方程通解sinycx5＃xdyy24．解方程2xy 2dx解： 将原方程改写为dx 2x y 22x y 。

dy，即dxydy y先求出齐次方程 dx2x 的通解为 x cy 2 。

dyy再设 xc( y) y 2 ， dx dc( y) y 2 2c( y) y ，代入原方程得 dc( y) 1dy dydy y解得 c( y) ln y C ， C 为任意常数。

所以原方程通解为x y 2 (C ln y )5 ＃5．解方程： xdy2 xy y( x 0)2dx解： 将方程改写为dy 2 y y( x 0) ，作代换yu,dyx duu ，则原方程dx xxxdxdx变为du 2du dx。

xu 。

即uxdx2于是得此方程通解为u ln( x) c ，即 u [ln( x) c] 2 ， (ln( x) c0) ，这里 c 为任意常数。

此外方程还有解u 0 。

代回原来的变量，得原方程通解y x[ln( x) c]2 (ln( x) c0) 与 y 05 ＃6．解方程 d 4x2 d 2 xx 02dt 4dt 2解：特征方程为 ( 21)2 0 ， 有 两 个 二 重 根 i ，原方程的四个实值解分别是cost ,t cost,sin t ,t sin t 。

故通解为x (c 1 c 2t )cos t (c 3 c 4t )sin t ， c 1, c 2 , c 3, c 4 为任意常数4＃7. 设二阶可微函数 y 满足方程 y 6y4e 4 x，y(0)=1'(0) 1, 求 y3, y 2解： 由题知对应齐次方程的特征方程为r 26r解得r 10 ， r 26于是对应齐次方程的通解为yc 1 c 2e 6x设非齐次方程的特解为： Y*ke4 x把它代入所给方程，得k1214x所以： Y *e21y c 16x 4x故已知方程的通解为c 2 e 2 e11又 f '(0) 1 故 c 1 c 2， f (0)=2 1 (12即： y e 6 x e 4x ) 7 ＃28. 求微分方程 y''4 y'3 y 2ex的通解3解： 由题知对应齐次方程的特征方程为r 243 0r解得r 11 ， r 23于是对应齐次方程的通解为y c 1e x c 2e3x因 1Y*axex是特征根，故设非齐次方程的特解为：把它代入所给方程，得 a 1 , 所以： Y*xex故已知方程的通解为 y c 1exc 2 e3xxex7＃ 9. 求微分方程 y''2 y'y xe x的通解3解： 由题知对应齐次方程的特征方程为r22r1 0 ，解得 r 1 r2 1 。

于是对应齐次方程的通解为y c 1exc 2 xex因1是重特征根，故设非齐次方程的特解为：Y*( ax b) x 2 ex把它代入所给方程，得a1 , 所以：Y*1 3 e x，b=06 x6故已知方程的通解为y c1e x x 1 3ex7＃c2 xe 6 x10．求微分方程y'' 3 y 3xe x的通解。