江苏省洪泽中学2020至2021学年高三年级第一学期期初考试 数学一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.已知集合，，则（ ）A.B.C. D.2．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1，S 2，则“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.设，则下列不等式中恒成立的是A.B.C.D.4．设函数2()5cos x f x e x x =--，则函数()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数(13)1,2()2,2x a x a x f x a x -++<⎧=⎨≥⎩满足对任意的12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．1(0,]2B ．11(,]32C ．1[,1)2D ．1(,1)36．已知函数()221,11,1x x x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()243,f a f a ->，则实数a 的取值范围是（） A ．()4,1- B ．()(),41,-∞-+∞ C ．()1,4-D ．()(),14,-∞-+∞7.已知，，且，则的最小值为A.B.C.D.8．已知命题:p x ∃∈R ，220mx +≤；命题:q x ∀∈R ，2210x mx -+>．若p 、q 都为假命题，则实数m 的取值范围是（） A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞-C ．(,2]-∞-D ．[1,1]-二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.设集合，，若，则实数a 的值可以为A. B. 0 C. 3 D.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加；B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；C. 第3天至第11天复工复产指数均超过；D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；11．设正实数mn 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．12m n +的最小值为3222+ B ．2mn的最大值为12C ．m n +的最小值为2D ．22m n +的最小值为212．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-下列说法正确的是（）A ．对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；B ．对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；C ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；D ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．命题：2000,220x x x ∃∈++<R 的否定为．14.已知a ＋2b ＝1(a >0，b >0)，则2b a ＋1b 的最小值等于________.15．已知函数2()ln(1)1f x x x =+-+，()5f a =，则()f a -=16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,1x ∈-时()12xf x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中所有正确结论的编号是____．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求a 的取值范围；设命题p ：，，若命题p 为假命题，求实数m的取值范围．18.（12分）已知是定义域为R 的奇函数，当时，．写出函数的解析式；若方程恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．19.（12分）已知函数当时，求函数的定义域；当时，若，使得不等式有解，求实数m 的取值范围．20.（12分）如图，某城市有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处图中阴影部分只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？21．（12分）已知函数()()f x x D ∈，若同时满足以下条件：①()f x 在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]a b ，那么称()()f x x D ∈为闭函数．（1）若3()34f x x x =-+，判断()f x 是否为闭函数；（2）如果()23f x x k =-+是闭函数，求实数k 的取值范围．22.（本小题12分）已知函数()2ln f x ax x x =--，其中a R ∈. （1）若1a =，求函数的极值（2）是否存在实数a ，使得函数()y f x =在(0,1)内单调？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由；江苏省洪泽中学2020至2021学年高三年级第一学期期初考试一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知集合，，则A.B.C.D.解：因为， ，所以．故选B ．2．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1，S 2，则“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．由祖暅原理知，若S 1，S 2总相等，则V 1，V 2相等成立，即必要性成立，若V 1，V 2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S 1，S 2不一定相等，即充分性不成立， 即“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的必要不充分条件， 故选：B ． 3.设，则下列不等式中恒成立的是A.B.C.D.【答案】D4．设函数2()5cos x f x e x x =--，则函数()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】依题意，函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称， 且()()()225cos 5cos ()xxf x ex x e x x f x --=----=--=，故函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ； 当x →+∞时，()f x →+∞排除D ；225cos 222f e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2202e ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，排除A. 5．已知函数(13)1,2()2,2x a x a x f x a x -++<⎧=⎨≥⎩满足对任意的12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1(0,]2B ．11(,]32C ．1[,1)2D ．1(,1)3【解析】由题意，()f x 为定义在R上的减函数，∴2130012(13)12a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-++≥⎩，解得1132a <≤， 故选B ．6．已知函数()221,11,1x x x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()243,f a f a ->，则实数a 的取值范围是（） A ．()4,1- B ．()(),41,-∞-+∞ C ．()1,4- D ．()(),14,-∞-+∞【答案】D【解析】()()2221,121,11,11,1x x x x x x f x f x x x x x ⎧-+-≤⎧-+-≤⎪===⎨⎨->->⎪⎩⎩，如图所示：画出函数图像，根据图像知函数单调递增，()()243f a f a ->，即243a a ->，解得4a >或1a <-.故选：D. 7.已知，，且，则的最小值为A.B.C.D.【答案】A 【解析】，，且，，，．当且仅当时取等号，故的最小值为．故选：A ．8．已知命题:p x ∃∈R ，220mx +≤；命题:q x ∀∈R ，2210x mx -+>．若p 、q 都为假命题，则实数m 的取值范围是（） A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞-C ．(,2]-∞-D ．[1,1]-8．【答案】A【解析】p ，q 都是假命题．由:p x ∃∈R ，220mx +≤为假命题，得x ∀∈R ，220mx +>，∴0m >； 由:q x ∀∈R ，2210x mx -+>为假，得x ∃∈R ，2210x mx -+≤， ∴2(2)40Δm =--≥，得1m ≤-或1m ≥， ∴1m ≥．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分） 9.设集合，，若，则实数a 的值可以为A.B. 0C. 3D.【答案】ABD 【解答】 解：，，，， 时，；时，或，，或 ．故选ABD ．我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加；B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；C. 第3天至第11天复工复产指数均超过；D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量； 【答案】CD【解答】解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A 错；由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误； 第3天至第11天复工复产指数均超过，故C 正确；第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D 正确； 故选：CD ．11．设正实数m n 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．12m n +的最小值为3222+ B ．2mn的最大值为12C ．m n +的最小值为2 D ．22m n +的最小值为2【答案】ABD【解析】A. 正实数mn 、满足2m n += 1211212()()(3)22n mm n m n m n m n∴+=++=++ 12322(32)2n m m n +≥+⋅=当且仅当2n mm n=时，等号成立，故A 正确；B.由2m n +=且0,0m n >>12m n+≤=， 当且仅当1m n ==12≤，故B 正确； C. 由2m n +=且0,0m n >>得222+=，222]4∴≤+=2≤，故C 错误；D.222()22m n m n ++≥=，故D 正确.12．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-下列说法正确的是（）A ．对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；B ．对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；C ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；D ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-.【答案】AD【解析】对于A,由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增,即有0m >,则A 正确; 对于B,由二次函数的单调性可得()g x 在(,)2a -∞-递减,在(2a-,)+∞递增,则0n >不恒成立,则B 错误;对于C,若m n =,可得1212()()()()f x f x g x g x -=-,即为1122()()()()g x f x g x f x -=-, 设2()2x h x x ax =+-,则应有12()()h x h x =,而()22ln 2x h x x a '=+-,当a →-∞,()h x '小于0,()h x 单调递减,则C 错误;对于D,若m n =-,可得1212()()[()()]f x f x g x g x -=--,即为1122()()()()f x g x f x g x +==+ 设2()2x h x x ax =++,则应有12()()h x h x =,而()22ln 2x h x x a '=++,对于任意的a ,()h x '不恒大于0或小于0,即()h x 在定义域上有增有减,则D 正确.故选:AD. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．命题：2000,220x x x ∃∈++<R 的否定为．【解析】0x ∃∈R ，200220x x ++<的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥．14.已知a ＋2b ＝1(a >0，b >0)，则2b a ＋1b的最小值等于________.14、由题意得2b a ＋1b ＝2b a ＋a ＋2b b ＝2b a ＋a b ＋2≥22b a ·ab＋2＝22＋2，当且仅当a ＝2b＝2－1时，等号成立，所以2b a ＋1b的最小值为22＋2.15．已知函数())1f x x =-+，()5f a =，则()f a -=【解析】因为()())1)1f x f x x x +-=+++)2ln122x x =+=+=，所以()()2f a f a +-=，∴()253f a -=-=-，故答案为3-．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,1x ∈-时()12xf x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中所有正确结论的编号是_______． 【答案】①②【解析】对于①，由题意知()()2f x f x +=，所以()f x 是周期为2的函数； 当[]1,1x ∈-时，()()()1112,22xxxf x ef x eef x ----=--=-=-=，所以()f x 为偶函数，①正确；对于②，()f x 是偶函数，对称轴是0x =，又()f x 是周期为2的函数， 所以()f x 的图象关于直线2x =对称，②正确； 对于③，方程()1f x x =-化为121xex --=-，设1t x =-，则方程化为[]2,0,1t e t t =+∈；由函数t y e =和[]2,0,1y t t =+∈的图象知，图象没有交点，方程无实数根，③错误；对于④，()f x 是周期为2的函数，且为偶函数，在0,1上是单调递减函数；所以22222283333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；又120123<<<，所以1223f f⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12223f f⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以④错误．综上知，正确的命题序号是①②．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围；设命题p：，，若命题p为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】解：，．“”是“”的充分不必要条件，，则，解得；命题p：，的否定为：，．命题p为假命题，命题为真命题，即，恒成立．则解得．18.已知是定义域为R的奇函数，当时，．写出函数的解析式；若方程恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，．因为是奇函数，所以，所以当时，，最小值为；当时，，最大值为1．所以据此可作出函数的图象如图所示，根据图象得，若方程恰有3个不同的解，则实数a的取值范围是．19.已知函数当时，求函数的定义域；当时，若，使得不等式有解，求实数m的取值范围．【答案】解：当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；设，，设，，故，，通过函数单调性也可以求出最大值故：，故：，20.如图，某城市有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处图中阴影部分只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设，，则直线AB方程为，即．因为AB与圆C：相切，所以，化简得，即，因此，因为，，所以，于是．又，解得，或， 因为，所以，所以，当且仅当时取等号， 所以AB 最小值为，此时．答：当A ，B 两点离道路的交点都为百米时，小道AB 最短．21．（12分）已知函数()()f x x D ∈，若同时满足以下条件：①()f x 在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]a b ，那么称()()f x x D ∈为闭函数．（1）若3()34f x x x =-+，判断()f x 是否为闭函数；（2）如果()23f x x k =-+是闭函数，求实数k 的取值范围．【解析】（1）若()f x 为闭函数，则需在定义域内单调递增或单调递减，由2()33f x x '=-，可知()f x 在R 上不单调，∴()34f x x x 3=-+不是闭函数．（2）易知()23f x x k =-+是定义域上的增函数，满足①，∴若()23f x x k =-+为闭函数，则()f x 在[,]a b 上的值域也是[,]a b ，即2323a k a b k b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴方程23x k x -+=有两个不同的实根， 令23[0,)x t -=∈+∞，则2231(1)122t k t t +=-=-+，∴直线y k =与21(1)12y t =-+的图象在[0,)+∞有2个交点，由图象可知，3(1,]2k ∈．22.（本小题12分）已知函数()2ln f x ax x x =--，其中a R ∈. （3）若1a =，求函数的极值（4）是否存在实数a ，使得函数()y f x =在(0,1)内单调？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由； 22.（1）函数的定义域为(0,)+∞()2'121(21)(1)21x x x x f x x x x x--+-=--==当'(0,1),()0x f x ∈<，函数单调递减， 当'(1,),()0x f x ∈+∞>，函数单调递增，1x =是函数的极小值点，函数的极小值为()11100f =--=（2）若函数()y f x =在(0,1)内单调递增， 则()'1210fx ax x=--≥在(0,1)恒成立. 即2111()2a x x≥+在(0,1)恒成立. 因为221111111()[()](1,)2224x x x +=+-∈+∞ 所以使得函数()y f x =在(0,1)内单调递增的a 不存在，若函数()y f x =在(0,1)内单调递减 则()'1210fx ax x=--≤在(0,1)恒成立.即2111()2a x x≤+在(0,1)恒成立. 因为a ≤221111111()[()]2224x x x +=+-在(0,1)恒成立. 所以1a ≤时，函数()y f x =在(0,1)内单调递减.。