【答案】经过 2 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2． 【解析】 【分析】
作出辅助线，过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，即可得出 S△ PQB= 1 ×PB×QE，有 P、Q 点的移动速 2
度，设时间为 t 秒时，可以得出 PB、QE 关于 t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 【详解】
解：
x1 ,
x2
，且它们的倒数之和是
3 2
，求
k
的值.
【答案】（1）k＜- 3 ；（2）k=﹣1 4
【解析】 试题分析：（1）根据交点得个数，让 y=0 判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式 △ = b2-4ac 的范围可求解出 k 的值； （2）利用 y=0 时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到 k 的值. 试题解析：（1）∵ 二次函数 y=x2-（2k-1）x+k2+1 的图象与 x 轴有两交点， ∴ 当 y=0 时，x2-（2k-1）x+k2+1=0 有两个不相等的实数根． ∴ △ =b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0．
(2)若方程的两实数根分别为 x1 ， x2 ，且 x12 x22 6x1x2 15 ，求 k 的值.
【答案】（1） k 3 （2）4 2
【解析】
试题分析：
根据方程的系数结合根的判别式即可得出 2k 3 0 ，解之即可得出结论.
根据韦达定理可得： x1
x2
k
1，x1 x2
1 k2 4
（1）计算：（1﹣ ﹣
）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
）×
（+
）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）
【解析】 【分析】
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
（1）仿照材料内容，令 +
解得：x1＝0，x2＝﹣4 当 x2+4x＝﹣4 时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到 降次效果，从而简便运算．
2．如图，在△ ABC 中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ ABC＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的 速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动．如果 P、Q 两点同时出 发，经过几秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2？
k2
1.
因为 x12 x22 6x1x2 15 ，所以 x1 x2 2 8x1x2 15 0 ，将上式代入可得
k
12
8
1 4
k
2
1 15
0
，整理得 k 2
2k 8 0
，解得
k1
4，k2
2
，又因为 k
3 2
，所以 k
4.
5．观察下列一组方程： ①x2 x 0 ； ②x2 3x 2 0 ； ③x2 5x 6 0 ； ④x2 7x 12 0 ；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一
解得 k＜- 3 ； 4
（2）当 y=0 时，x2-（2k-1）x+k2+1=0． 则 x1+x2=2k-1，x1•x2=k2+1，
∵
=
=
= 3，
2
解得：k=-1 或 k= 1 （舍去）， 3
∴ k=﹣1
4．已知关于 x 的方程 x2 (k 1)x 1 k 2 1 0 有两个实数根. 4
(1)求 k 的取值范围；
元二次方程为“连根一元二次方程”．
1 若 x2 kx 56 0 也是“连根一元二次方程”，写出 k 的值，并解这个一元二次方程；
2 请写出第 n 个方程和它的根．
【答案】（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n. 【解析】 【分析】 （1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到 56 是 7 与 8 的乘积,确定 k 值 即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】 解：(1)由题意可得 k＝－15，则原方程为 x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得 x1＝ 7，x2＝8. (2)第 n 个方程为 x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得 x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】 本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊 的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．阅读下列材料
计算：（1﹣ ﹣ ）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
）（ + ），令 + ＝t，
则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+ ﹣t2﹣
+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想 方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+﹣t2﹣ ﹣t+t2+ ＝
（2）令 a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令 x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴ t1＝0，t2＝﹣4 当 x2+4x＝0 时， x（x+4）＝0
1
，结合 x12
x22
6 x1 x2
15
即可得
出关于 k 的一元二次方程，解之即可得出 k 值，再由⑴的结论即可确定 k 值.
试题解析：
因为方程有两个实数根，所以
k
1 2
4 1
1 4
k2
1
2k
3
0
，
解得 k 3 . 2
根据韦达定理，
x1
x2
k 1
1
k
1，x1
x2
1 4
k2 1
1
1 4
答：经过 2 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．
3．已知关于 x 的二次函数 y x2 (2k 1)x k2 1 的图象与 x 轴有 2 个交点. （1）求 k 的取值范围；
（2）若图象与
x
轴交点的横坐标为
如图， 过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，则∠ QEB＝90°． ∵ ∠ ABC＝30°， ∴ 2QE＝QB．
∴ S△ PQB＝ 1 •PB•QE． 2
设经过 t 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2， 则 PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意， 1 •（6﹣t）•t＝4． 2
t2﹣6t+8＝0． t2＝2，t2＝4． 当 t＝4 时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取 t＝2．
＝t 代入原式计算．
（2）观察式子找相同部分进行换元，令 a2﹣5a＝t 代入原式进行因式分解，最后要记得把 t 换为 a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令 x2+4x＝t 代入原方程，即得到关于 t 的一元二次方 程，得到 t 的两个解后要代回去求出 4 个 x 的解． 【详解】
（1）令 +