2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．2ABxxAxxB＝( )∩|．－41．(2013四川，理1)设集合＝＝{|0}＋2＝0}，集合，则＝{A．{－2} B．{2}?．．{－2,2} DC zAz的共轭复数表示复数如图，在复平面内，点，则图中表示2．(2013四川，理2) )．的点是(B A B．A．DC D．C． )．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( 3．(2013四川，理3)?xpA,xAxB2：是奇数集，集合∈4．(2013四川，理4)设，集合∈Z是偶数集．若命题B．( ∈)，则???????B p：A．A,2xp：xx∈A,2x．B B??????B ∈p：p：xA,2xA,2x∈B D．C．x ππ???????0,?xxf的部分图象如图所示，．5(2013四川，理5)函数φ()＝2sin(ω)＋??22??．( )则ω，φ的值分别是π?3 A．2，π?6B．2，π?6，．4Cπ34，D．2y22xyx )抛物线．＝4( 的焦点到双曲线＝－1的渐近线的距离是6)(20136．四川，理331 322．1 D． C． B．A．3xy?的图象大致是( )． 7．(2013四川，理7)函数x3?1ab，共，从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为8．(2013四川，理8)ab 的不同值的个数是( )．可得到lg －lgA．9 B．10 C．18 D．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．11378424． D C．A．． B x?x e?a ayfx，若曲线设函数)(，)e＝(为自然对数的底数∈R四川，理10．(201310)xxyffyya的取值范围是( )())，＝)使得．(，则(＝sin 上存在点0000A．[1，e] B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．523xyxy的项的系数是__________的展开式中，含．((2013四川，理11)二项式(用＋)11．数字作答)AOABAD，12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD＋λ＝交于点O，则λ＝__________.π??,π，则tan 2α的值是__________．sin 四川，理13)设2α＝－sin α，α∈ 13．(2013??2??2fxxfxxx，那么，(－)(＝)是定义域为R的偶函数，当4≥0时，(201314．四川，理14)已知fx＋2)＜5(的解集是__________．不等式PPPn个点，在平面α内的所有点中，为平面α15．(2013四川，理15)设内的，，…，n21PPPPPPPP 的一个“中到点，为点，…，，…，的距离之和最小，则称点若点，nn2211ABAB的中位点，现有下列命题：上的任意点都是端点位点”，例如，线段，ABCCABCABC的中位点；上，则①若三个点，是，共线，，在线段，②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；ABCD共线，则它们的中位点存在且唯一；，，，③若四个点④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．aaaaaa和为{}中，＋＝8，且在等差数列分本小题满分四川，理．16(201316)(12)n92134an项和．的等比中项，求数列{的首项、公差及前}nABCABCabc，，，，，的对边分别为17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△中，角A?B32?cos CAABBB， cos(＋cos )－sin(＋－且2＝)sin 25A的值；求cos (1)a?42BCBA b方向上的投影．(2)在若＝5，求向量，x某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量)分18)(本小题满分1218．(2013四川，理在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．yiPi＝1,2,3)的值为；的概率 ((1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出i n次后，统计记录了甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行(2)yii＝1,2,3)的值为的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．(输出甲的频数统计表(部分)yyy的值的值输出的值输出输出运行n 为3的频数为2的频数次数1为的频数10 14630 (697)3761 0272 100．乙的频数统计表(部分)yyy的值的值的值输出输出运行输出n 为3的频数为2的频数次数1为的频数7 301112 (353)1 0516962 100nyii＝乙所编程序各自输出(的值为1,2,3)分别写出甲、当2 ＝100时，根据表中的数据，的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；y的值为2的次数求输出ξ的分布列及数学期次，将按程序框图正确编写的程序运行(3)3望．ABCABCAA⊥底面12分)如图，在三棱柱中，侧棱－19．(2013四川，理19)(本小题满分1111ABCABACAABACDDBCBCPAD的，∠＝120°，是线段，的中点，分别是线段，，＝2＝1111中点．ABCPABCll⊥平内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线 (1)在平面1ADDA；面11lABMACNAAMN的余弦值．中的直线设(2)(1)交于点，交于点，求二面角－－122yx??1aCb＞：0)＞的两个(本小题满分20．(2013四川，理20)(13分)已知椭圆22ab41??,PFFC.(1,0)，且椭圆经过点焦点分别为1,0)(－，??2133??C的离心率； (1)求椭圆AlCMNQMN上的点，且，是线段(2)设过点的直线(0,2)两点，点与椭圆交于211??Q的轨迹方程．，求点222|AN||AM||AQ|2??2x?a,xx?0,fxa是实其中)14分)已知函数＝(理21．(2013四川，21)(本小题满分?ln x,x?0,?AxfxBxfxxx. ＜())，))(为该函数图象上的两点，且，数．设(，(212121fx)的单调区间；( (1)指出函数fxABxxx的最小值；，求 ()的图象在点，－处的切线互相垂直，且＜0(2)若函数122fxABa的取值范围．处的切线重合，求，的图象在点)(若函数(3)．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：AAB＝{－2,2}－2}，，解析：由题意可得，＝{AB＝{－2}∩．故选A．∴2．答案：Bz表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．解析：复数3．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．答案：D5．答案：A3T5ππ3π??????，解析：由图象可得，??43412??π2π55π?????1,2??sin Txfxωφ)中得，＝＝2，再将点，∴＝π代入，(2sin(2)＝则＋????π612????ππ5kk，∈Z令＋φ＝2π＋，26πkk∈Z解得，φ＝2π－，，3ππ??,?k又∵0，则取，φ∈＝??22??π?∴φ＝．.故选A36．答案：B?3x??3y x，即(1,0)，双曲线的渐近线方程为解析：由题意可得，抛物线的焦点为y＝0－，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离|?3?0|3?d?. 227．答案：Cx＝－1，(0，＋∞)，故排除A；取解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪?13x3xxy 的值且都为正，故1远远大于；当→＋∞时，＝3－，故再排除＝＞0B121?33x→0且大于0，故排除D，选C．x3?18．C答案：ab)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，解析：记基本事件为((1,9)，，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，a lg ba，其中基本＝20个基本事件，而lg lg －(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有ba lg的值相等，则不同值的个数为20－2和(3,1)，(9,3)使＝18(个)，事件(1,3)，(3,9)b故选C．9．答案：Cxyxy≤4；而所设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为，则由题意可得，0≤，≤4,0≤解析：xyxy|≤2}，{()||，－求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝S16?43阴影??P?. 由图示得，该事件概率S164正方形10．答案：Ayx∈[－sin 1,1]，解析：由题意可得，＝00x?x?e a yfx∈[0,1]，＝而由可知( )0x?x e xfa为增函数，) 时，(当＝＝0e?1yfy]．)∈[1∴时，∈[0,1] (，00e?1yff＞1.(∴))≥(0yffyy成立，故B，D))∴不存在∈[0,1]使＝(错；( 000x?x?e?1e yyfaxfx)(时)＝才有意义，而(1时，∈[0,1]时，只有＝1，当当＋＝e00f(1)＝0，fff(0)，显然无意义，故C错．故选(1))＝A．∴(第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．答案：1032CC32yx10.由二项式展开系数可得，解析：＝＝的系数为5512．答案：2ACAOABAD ABCD 2＝如图所示，在平行四边形解析：中，＋＝，∴λ＝2.3 13．答案：解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.π1??,π?.＝cos α又∵α∈，∴??22??32???cos1. ＝∴sin α231??2. ＝＝－1α＝2cosα，∴sin 2αcos 222?sin23.＝＝∴tan 2α?cos214．答案：(－7,3)2xxxx＜，解得，0≤45.解析：当＜≥0时，令5－fxfxxx＜，即－72＜＜5等价于－5又因为＜(5)为定义域为R的偶函数，则不等式(＋＋2)＜3；故解集为(－7,3)．15．答案：①④CABABC也不上，则线段解析：由“中位点”可知，若上任一点都为“中位点”，在线段例外，故①正确；ABCACBPAB中点，设腰长为为斜边2＝90°，如图所示，点Rt对于②假设在等腰△，中，∠33232CACBCPAPBPCAB，|＝而若4为“中位点”，则|则|＋|＋||||＝＜|||＝＋|，2故②错；BCADABBCCDBABCBDCA|＋4＝|＋|||＝|，则|＝1|||＋对于③，若|，三等分＝，若设||＝|CBCD|，故③错；|| |＋ABCDACBDOABCDO的一的交点为内任取不同于点对于④，在梯形中，对角线，在梯形与MMACMAMCACOAOC|，＝|||点，则在△|中，||＋||＞＋|MBDMBMDBDOBOD|，|||||同理在△中，|＋|＞|＝|＋则得，MAMBMCMDOAOBOCOD|， |＋|＋|||||＋|＋||＋|＋|||＞|O为梯形内唯一中位点是正确的．故三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．dnS.解：设该数列公差为项和为，前16．n2adadadad)． )＝(＋由已知，可得2＋＋28＝8，()(＋31111adddaadada}{的首项为＝，或3＝1－3＝)0，解得，＝4所以，，＋，即数列＝4，＝(0n11114，公差为0，或首项为1，公差为3.2?n3n nSnS＝4所以，数列的前.项和或＝nn217．A?B32cos?BCABABBA2(1)由－＋cos(解：＋))＝＋cos ，得－sin(－[cos()sin 1]cos 523?BBBBA )sin －cos －sin(，－＝53?BBABBA.)sin )cos －－sin(即cos(＝－533??ABAB.＝＋，即)则cos(＝－cos 5543?AAA＝sin ，＜＜(2)由cos π＝，得，055ba?由正弦定理，有，B sin A sin2sin Ab?B. ＝所以，sin 2aπ?B BabA.由题知，故＞＞，则43??2?2)(422cccc－2×5舍去×)，解得．＝1或＝－根据余弦定理，有7(＝5＋??5??2BCBABA B.|cos 方向上的投影为|故向量＝在218．x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24解：(1)变量种可能．1Pxy ；＝1，故从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出 当的值为121Pyx ；的值为2，故＝ 当2,4,8,10,14,16,20,22从这8个数中产生时，输出231Pxy . 从6,12,18,24的值为3当，故＝这4个数中产生时，输出3611yyy 的值为3的概率的概率为所以，输出的值为12的概率为，输出，输出的值为 231. 为 6nyii ＝1,2,3)的值为的频率如下：( (2)当2 100＝时，甲、乙所编程序各自输出yyy 的值输出 输出输出的值 的值 的频率3为的频率2为的频率1为1027376697甲2100210021003531051696 乙210021002100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.03218????0?C ??P ＝，ξ＝0)(???? 32733????12412????1???C P ，＝1)＝(ξ????3933????21122????2???C P2)＝，ξ(＝???? 3933????30211????3??C ?P ，(ξ＝3)＝???? 32733???? ξ的分布列为故320ξ18421 P 2727991284E 1.＋3×＋2×所以，＝ξ＝0×＋1×2799271.即ξ的数学期望为 19．BCABCPl 内，过点∥如图，在平面作直线，(1)解：．BCBClAAlBCBCA 内，因为在平面在平面由直线与平面平行的判定定理可知，外，∥平面111BCDABAC 由已知，是＝的中点，，．ADBCADl ⊥所以，，则直线⊥ABCAA ⊥平面因为，1lAA . ⊥直线所以1AAADADDAADAA 相交，又因为内，且，与在平面1111AlADD . ⊥平面所以直线11(2)解法一：AFFEFEAMAPAAEAPE . ⊥，过于作⊥，过连接作于，连接111AEAMN ⊥平面，由(1)知，1MNAAEA . 所以平面⊥平面11AEAMMNAEA . ⊥所以，则⊥平面11AFMAAMAEF .，则⊥平面所以⊥11NMAFEAA )．的平面角(故∠为二面角设为－θ－1ADABBACAAABAAACBAD 1. ＝，则由＝设1＝＝2，2＝＝60°，＝120°，有∠，∠11．PAD 的中点，为又1AMMABAP ＝ 所以中点，且，为＝1， 25 2MAAMAAAPAP .＝；在所以，在Rt △Rt △中，中，＝11112AP ?AA 11?AE ? ，从而PA 51AM ?AA 11?AF ?.MA21AE2?. θ＝所以sin AF52122??1sin??1?. ＝所以cos θ????55??15NAAM. －－故二面角的余弦值为15AEAD ACAAAEBA，＝1.如图，过解法二：设，以作，为坐标原点，分别以平行于111111111AA xOAyzOxyz 轴，的方向为重合轴，)轴的正方向，建立空间直角坐标系．(点与点11AA．则(0,0,1)(0,0,0)，1ADP为因为的中点，ACABMN，，分别为所以的中点．????1133,1,,,1?MN故，. ????????2222??????133NM AAMA,1,(，0,0)．所以＝＝＝(0,0,1)，，????1122??zyM n xAA，＝(，设平面，)的一个法向量为11111??0,?AMAM,n?n???1111即则??0,A??A,nAn?A????1111???130,,1?z??,,?x,y?????11122故有????0,?0,0,1?,x,yz?????111?130,z??x?y?111从而?22?0.z??13?yx＝1，则，＝取11 3?n．，0)所以＝(1，1zyx n AMN，(设平面的一个法向量为＝，，)22221．??,AM n?0,M?n?A??1212则即??0,NM?n?,?NM n????22???130,,1?,z??,?x,y?????22222故有????0,??z???3,0,0?x,y,?222?130,z??y?x?22222从而??0.x?3?2n yz．1)＝，则(0,2＝－1，所以取，－＝2222NMAA设二面角，－的平面角为θ－1为锐角，又θn?n21θ＝则cos|n|?|n|21?1,?3,0???0,2,?1?15?.＝52?515NMAA的余弦值为. 故二面角－－1520．解：(1)由椭圆定义知，22221414????????21??2?1???PFPFa |＝，＝||＋2|????????213333????????2?a.所以c1.又由已知，＝2c1e???C的离心率所以椭圆. 2a22x2yC1.的方程为＋＝(2)由(1)知，椭圆2Qxy)．( 设点，的坐标为lxlCQ的坐标为两点，此时点(0，－与椭圆1)交于(1)当直线(0,1)与，轴垂直时，直线??530,2?. ????5??lxlykx＋与2.轴不垂直时，设直线＝(2)当直线的方程为MNlMNxkxxkx＋2)(，，的坐标分别为(，因为＋，在直线2)上，可设点，，2121222222AMkxANkx.(1＋，|)|则|＝|＝(1＋)2122222AQxykx. )(1－2)又|＝|＝＋(＋211??，得由222|AQ||AM||AN|211??，222222x??k1k1???x???x1k?21．2?2?xx?x?x1212121???.①即22222xxxxx22112x2ykxy＝1中，得＋2代入将＋＝222kxkx 0.8②＋(26＋1)＝＋3222kkk. 由Δ＝(8，得)－4×(2＞＋1)×6＞02?8k6xxxx＝由②可知，，＋，＝2121222k?12k?1182x?.③代入①中并化简，得2?310k Qykx＋2上，在直线＝因为点y?222k?xy所以＝2)－3，代入③中并化简，得10(18. －x????3366,0?220,xxk. ∈＜∪＜由③及，即＞，可知0????????2222??????53220,2?yx＝18，－3 满足10(－2)又???? 5????66?,x.∈故????22??QxyC内，在椭圆，由题意， ()y≤1.所以－1≤99??,222yyyx≤1，－2)＝18＋3且－1≤有(－2)又由10(∈??54????513,2?y. 则∈???25??????51663,2,??22yQyxx.∈，3＝18所以，点，其中的轨迹方程为10(∈－2)－???????5222????21．fx)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[(1)函数－(1,0)，(0，＋∞)．解：AfxBfx)，处的切线斜率为(2)由导数的几何意义可知，点处的切线斜率为′(′()，点21ABfxfx)＝－故当点)处的切线与点1. 处的切线垂直时，有′(′(21xfxfxx＋22. ())求导，得＝当′(＜0时，对函数xx＜0，＜因为21xx＋2)2)(2＝－1. 所以，(2＋21xx＋20,2＞所以20. ＋2＜211[??2x?2?]?2x?2?xxxxx＋－(2＝[－(2＋＋2)因此22)，当且仅当－＋2]≥＝11112221231x??x??x时等号成立．1＋2＝，即且＝222122fxABxx的最小值为处的切线互相垂直时，)的图象在点1.，所以，函数－(12xxxxfxfxxx. ＜时，，故′()≠＜′(0)(3)当＜＜0或＞＞021*******xaxxyxxxfxfx2)(＝2处的切线方程为，的图象在点时，＜当0函数()(())－(＋＋)(2＋111111．2axxxxy.＋－2))，即＋＝(2－1111xxxyxyfxxxf，即处的切线方程为(－当＞0时，函数ln ())的图象在点(＝，－())222222x1xx－ln ·＝1. ＋22x两切线重合的充要条件是1??2x?2,①?12x??2ln x?1??x?a.②?12xxx＜0. 知，－1＜0＜＜由①及1121ln22xaxx＋2)由①②得，－＝1＋＝1.－ln(2－1112x?212hxxxx＜0)，1＜－ln(21(＋2)设－(－)＝11111xhx＜20. 则－′(＝)11 x?11hxx＜0)是减函数． ()(－1所以，＜11hxh(0)＝－ln 2－1，则 ()＞1a＞－ln 2－所以1.xhx)无限增大，(且趋近于－－1,0)1时，又当∈(11a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．所以fxABa的取值范围是(－ln 2－故当函数()的图象在点，处的切线重合时，1，＋∞)．。