课题圆的方程复习课
针对性授课
关于圆与方程的知识点整理
一、标准方程
()()
222
x a y b r
-+-=
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r
①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材
119
P例2
②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交
相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）
条件方程形式
圆心在原点()
2220
x y r r
+=≠
过原点()()()
2222220
x a y b a b a b
-+-=++≠圆心在x轴上()()
2220
x a y r r
-+=≠
圆心在y轴上()()
2
220
x y b r r
+-=≠
圆心在x轴上且过原点()()
2220
x a y a a
-+=≠
圆心在y轴上且过原点()()
2
220
x y b b b
+-=≠
与x轴相切()()()
2220
x a y b b b
-+-=≠
与y轴相切()()()
2220
x a y b a a
-+-=≠
与两坐标轴都相切()()()
2220
x a y b a a b
-+-==≠
二、一般方程
()
2222
040
x y Dx Ey F D E F
++++=+->
1.220
Ax By Cxy Dx Ey F
+++++=表示圆方程则
22
22
00
00
40
40
A B A B
C C
D E AF
D E F
A A A
⎧
⎪
=≠=≠
⎧
⎪
⎪⎪
=⇔=
⎨⎨
⎪⎪+->
⎩
⎛⎫⎛⎫
⎪+-⋅>
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎩
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材
122
P例r4
3.2240
D E F
+->常可用来求相关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系
d r
<⇒点在圆内；d r
=⇒点在圆上；d r
>⇒点在圆外
2.涉及最值：
（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值
min
PB BN BC r
==-
max
PB BM BC r
==+
（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+
思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）
（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔> （2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔= （3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<
这个知识点能够出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求相关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外
如定点()00,P x y ，圆：()()2
2
2
x a y b r -+-=，[()()2
2
2
00x a y b r -+->]
第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-
第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对k 存有有效，当k 不存有时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆2
2
46120x y x y +--+=的切线，求切线方程.
答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上
1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中使用，但一定要看清题目.
2） 若点()00x y ，在圆()()2
2
2
x a y b r -+-=上，则切线方程为
()()()()200x a x a y b y b r --+--=
碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后使用上述结果.
（2）过直线0Ax By C ++=与圆22
0x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为
()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=
（3）相关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）：略
（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.
例：过圆2
2
1x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方
程.
分析：2
2
2
OP AP OA +=
（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动
↓ ↓
动点 主动点
特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.
例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆2
2
1x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ
于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程. 分析：角平分线定理和定比分点公式.
例2.已知圆O ：22
9x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3
BAC π
∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.
法1：
3
BAC π
∠=
，BC ∴为定长且等于33
设(),G x y ，则333
33A B C B C A B C B
C x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩
取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭，333,42E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦ 222
OE CE OC +=，2294
E E x y ∴+=
（1）
2222B C E B C E B C E B C E
x x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨
⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，323332
2323E E E E x x x x y y y
y +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩
故由（1）得：()22
22
333933110,,,122422x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦
法2：（参数法）
设()3cos ,3sin B θθ，由223
BOC BAC π
∠=∠=
，则 223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
设(),G x y ，则
()
()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛
⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪
⎪⎝
⎭⎨
⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪
⎝⎭⎩
4,
33
ππ
θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()22
33110,,,122x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦
参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．
得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围. （4）求轨迹方程常用到得知识
①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩
②中点(),P x y ，1212
2
2x x x y y y +⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
③内角平分线定理：BD AB
CD AC
=
④定比分点公式：AM
MB λ=，则1A
B M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ
+=+ ⑤韦达定理.
课 堂 练 习。