证明：由 f（x，y）在 D 上连续，故可积
令 则
除 y＝x 外连续，故必可积
3．在下列积分中改变逐次积分的次序：
解：
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4．计算下列二重积分：
是由抛物线
和直线
所界的区域；
， 是由圆心在点 的较短一段弧和坐标轴所围成的区域；
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3．计算下列三重积分：
其中积分区域 V 是由球面 所围成的立体；
其中 V 是
分所组成；
由两个球
解：（1）利用柱面坐标，得
公共部分的体积．
12．求由抛物线 所围成区域的面积．
解：作变换：
则
于是所求面积为
和直线
13．求曲线
所围的面积．
解：此曲线只在 1、3 象限且关于原点对称，故只需计算图形在第一象限中的面积，
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再 2 倍即可
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则至少存在一点
又 f（M）在 上连续，当然在 M0 连续，则必存在
使得 当
时，有
于是
3．证明：若 f（M）在 上连续，在 的任何部分区域
上
则
．由此证明：若
上成立：
在 上连续，在 的任何部分区域
则在 上成立：
证明：用反证法，若存在点
使
f（M）在 上连续，则存在 的邻域
不妨设
由于 使得
于是有 则假设不成立，即有
与题设
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矛盾
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令
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台
则在 的任何部分区域
上，
从而由上面所证结论，有
，即
亦即
4．若
在 上可积，那么 f（M）在 上是否可积？考察函数
当 x 和 y 中至少有一个是无理数时，
当 x 和 y 都是有理数时，
在[0，1；0，1]上的积分。
解：未必。
事实上，
在[0，1；0，1]上的上和、下和分别为
其中 从而
然而
在[0，1；0，1]上不可积 在[0，1；0，1]上可积。
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第 20 章 重积分的计算及应用
§1 二重积分的计算
1．化二重积分
为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的
号，则
在 上可积，且可设
在 上连续，g（M）在 不变
由性质 4，得 若
由于
且连续，则必有
即要证不等式成立；
若
则
由连续函数的介值定理，得必存在
使
即
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从而
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同理，当
时，亦有
2．证明：若 f（M）在 上连续，
但
则
证明：因
则
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10．求由锥面
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平面 z＝0 及圆柱面
所围的立体体积．
解：锥面 平面上射影域是圆域
平面 z＝0 及圆柱面
所围的立体在 XOY
在第一象限部分记为
则利用对称性，得所求立体体积为
11．求球面 解：由对称性，得
与圆柱面
半径为 a 且与坐标轴相切的圆周
区域． 解：
是以
和
为边的
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5．证明
证明：将
逐项积分，得
其中 是
所围成的区域对此积分可化为先对 x 后对 y 的积分，则得
6．设平面上区域 D 在 x 轴和 y 轴上的投影长度为 内任一点，证明：
令
则
于是
14．求一物体的体积，此物体的界面为：平面 z＝0，抛物面 球面
与这个抛物面的交线为准线的正柱面
解：将 令 于是
代入球方程，得 则
以及以
15．求边长为 a 的正方形薄板的质量，设薄板上每一点的密度与该点距正方形某一顶 点的距离成正比，且在正方形的中点处密度为 ρ0．
解：设某一顶点为原点（0，0），则
D 的面积为|D|，
为D
证明：（1）由于 使得
（2）设
在 D 上连续，故由积分中值定理，存在 则
7．用极坐标计算
时，积分限如何配置（写出下列区域上的两种逐
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次积分）？
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（1） 半圆
（2） 半环
（3） 圆
（4） 正方形：
于是 则密度函数为 于是利用第 7 题（4），得
且当
时，
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§2 三重积分的计算
1．计算下列三重积分：
解：
由曲面 由曲面
所围成； 围成．
2．指示下列三重积分的区域 V 的形状并改变积分次序：
解：
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V 为椭球
（2）利用球面坐标，得
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与抛物面 的公共部
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（3）利用球面坐标，得
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（4）由广义球面坐标，得
4．利用球面坐标或柱面坐标计算下列曲面所界体积：
的内部被
所划出的部分；
解：（1）利用柱面坐标 面方程变为：
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第 4 篇 多变量微积分学
第 4 部分 多变量积分学
第 19 章 积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质
§2 积分的性质
1．证明中值定理：若
在 上连续，g（M）在 不变号，则
其中
证明：设 是有界闭区域且有度量，因
解：
8．在下列积分中引进新变量 u，v，变换下列积分：
若 若 其中 是由曲线
与坐标轴所界的区域．若
解：（1）因 于是
则
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（2）因
则
ห้องสมุดไป่ตู้于是
（3）因
则
于是
9．应用极坐标计算下列二重积分：
解：
是圆
的内部）．
（3）作变换 于是
二次积分），其中积分域 D 分别为：
（1）D 是由 x 轴与
所围成的区域；
（2）D 是由
及
所围成的区域；
（3）D 是由 （4）D 是圆环 解：
及 ．
所围成的区域；
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2．设 f（x，y）在区域 D 上连续，其中 D 是 y＝x，y＝a 及 x＝b（b＞a）所围成的， 证明