5．已知关于 x 的函数 y＝ax2＋x＋1(a 为常数)． (1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值； (2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝0 时，函数为 y＝x＋1，它的图象显然与 x 轴 只有一个交点(－1,0)． 当 a≠0 时，依题意，得方程 ax2＋x＋1＝0 有两个相等的
解得 b＝2，c＝－3，
则抛物线解析式为＝x2＋2x－3.
(－3,0)，
由题意， 点 A(－3,0)， ∴AC＝ 9＋9＝3 2，AD＝ 4＋16＝2 5， 2， CD＝ 1＋1＝
(2)结合图形，抛物线 y＝x2＋2x－3，与 x 轴的交点为(1,0)，
由 AC2＋CD2＝AD2，所以△ACD 为直角三角形．
1 1 ＝2×CD×OC－2×AB×OC 1 1＋a 1 1－a ＝2× 2 ×1－2× a ×1＝1.
∴S1－S2 为常数，这个常数为 1.
【跟踪训练】 6．如图 22-3，抛物线 y＝x2＋bx＋c 的顶 点为 D(－1，－4)，与 y 轴交于点 C(0，－3)， 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)．
图 22-4
①当 M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB ②当 M 点运动到何处时，四边形 AMCB 的面积最大？求出 四边形 AMCB 的最大面积及此时点 M 的坐标．
解：(1)抛物线 y＝(x＋1)2＋k 的对称轴为直线 x＝－1. ∵抛物线 y＝(x＋1)2＋k 过点 C(0，－3)， 则－3＝(0＋1)2＋k, ∴k＝－4. (2)如图 D6，根据两点之间线段最短可知，当 P 点在线段 AC 上就可使PA ＋PC 的值最小，又因为点P 要在对称轴上，所 以 P 点应为线段 AC 与对称轴直线 x＝－1 的交点．
移得到．平移的规律是：“h 左加右减，k 上加下减”．二次函 数的一般形式 y＝ax2＋bx＋c 可以转化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 加以分析．
【例 1】已知二次函数 y＝2(x－1)2＋m 的图象上有三个点， 坐标分别为 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)，则y1，y2，y3的大 ) 小关系是( A．y1>y2>y3 C．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1
∴二次函数为 y＝ax2－(a＋1)x＋1. ∵二次函数为 y＝ax2－(a＋1)x＋1 的图象与 x 轴交于不同 的两点，
∴Δ>0.而Δ＝[－(a＋1)]2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1 ＝(a－1)2，
∴实数 a 的取值范围是 a>0 且 a≠1.
(3)证明：如图 22-2，∵ 0<a<1，
1 △ AMB 的最大面积 S△ AMB＝2× (3＋1)× 4＝8.
②方法一： 如图D6，过点M 作MH⊥x 轴于点H，连接AM，MC，CB. 点 M 在抛物线上，且在第三象限，设点 M 的坐标为(x，
x2＋2x－3)，则
S 四边形 AMCB＝S△ AMH＋S 梯形 OHMC＋S△ OBC 1 1 1 2 2 ＝2(x＋3)(－x －2x＋3)＋2(3－x －2x＋3)(－x)＋2× 1× 3 3 2 9 ＝－2x －2x＋6 3 32 75 ＝－2x＋2 ＋ 8 . 3 75 当 x＝－2时，四边形 AMCB 的面积最大，最大面积为 8 . 3 3 3 15 2 2 当 x＝－2时，x ＋2x－3＝ －2 ＋2× －2 －3＝－ 4 . ∴ 当 四 边 形 AMCB 的 面 积 最 大 时 ， 点 M 的 坐 标 为 3 15 － ，－ . 4 2
7．如图 22-4，抛物线 y＝(x＋1)2 ＋k 与 x
轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C(0，－3)．
(1)求抛物线的对称轴及 k 的值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点 P，使得 PA
＋PC 的值最小，求此时点 P 的坐标；
(3)点 M 是抛物线上一动点，且在第三象限．
的最大面积及此时点 M 的坐标；
图 22-2
－a－1 a＋1 ∴对称轴为 x＝－ 2a ＝ 2a >1. ∴
a＋1 1－a AB＝2 － 1 ＝ a . 2 a
把 y＝1 代入 y＝ax2－(a＋1)x＋1，得 1＋a 2 ax －(a＋1)x＝0，解得 x1＝0，x2＝ .
a
1＋a ∴CD＝ . a ∴S1－S2＝S△PCD－S△PAB＝S△ACD－S△CAB
热点三
二次函数的综合应用
【例 3】 已知关于 x 的二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图 象经过点 C(0,1)，且与 x 轴交于不同的两点 A，B，点 A 的坐标 是(1,0)
(1)求 c 的值；
(2)求 a 的取值范围； (3)该二次函数的图象与直线 y＝1 交于 C，D 两点，设 A，
章末整合提升
热点一 二次函数的图象与性质
二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在开口方向、 对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握 这些性质是学好本章的前提和基础． 再者注意 y＝a(x－h)2＋k 的图象与函数 y＝ax2 的图象的关
系，它们形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平
(3)存在点 A(－3,0)，B(1,0)，则|AB|＝4. 抛物线 y＝x2＋2x－3 的对称轴为 x＝－1. 点 E 在抛物线的对称轴上， 则过点 E 作 EF∥AB.交抛物线于点 F. 要使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形， 则|EF|＝4. 设点 F 坐标为(x，y)，则|x＋1|＝4，故 x＝－5 或 x＝3. 当 x＝3 时，y ＝32 ＋2×3－3 ＝9＋6 －3＝12 ，则点 F 为 (3,12)． 当 x＝3 时，y＝52－2×5－3＝25－10－3＝12. 则点 F 为(5,12)． 故存在点 F(5,12)或(3,12)，使以 A，B，E，F 为顶点的四边 形为平行四边形．
当 b2－4ac<0 时，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点．
【例 2】 已知函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)． (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一
个定点；
(2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值． 思路点拨：(1)根据解析式可知，当 x＝0 时，函数值与 m
C．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
D．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位
3．如图 22-1，在 Rt△OAB 中，∠OAB＝90°，O 为坐标原 点，边 OA 在 x 轴上，OA＝AB＝1 个单位长度，把 Rt△OAB 沿
x 轴正方向平移 1 个单位长度后得AA1B1.
(1)求以 A 为顶点，且经过点 B1 的抛物线的解析式； (2)若(1)中的抛物线与 OB 交于点 C，与 y 轴交于点 D，求 点 C，D 的坐标．
图 22-1
解：(1)由题意，得点 A(1,0)，B1(2,1)． 设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2. 将 B1 坐标代入，得 a＝1. 所以抛物线的解析式为 y＝(x－1)2. (2)因为点 B 坐标为(1,1)，所以直线 OB 的解析式为 y＝x.
图 D6
由(1)可知，抛物线的表达式为 y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3. 令 y＝0，则(x＋1)2－4＝0，解得 x1＝－3，x2＝1.
则点 A，B 的坐标分别是 A(－3,0)、B(1,0)．
设直线 AC 的表达式为 y＝kx＋b，则
－3k＋b＝0， b＝－3. k＝－1， 解得 b＝－3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 AC，CD，AD，试证明△ACD 为 直角三角形； 图 22-3 (3)若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，
使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求
出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
b －2＝－1， 解：(1)由题意，得 2 4 c － b ＝－4. 4
值无关，故不论 m 为何值，函数 y＝mx2－6x＋1的图象都经过
y 轴上一个定点(0,1)．
(2)应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与 x 轴有
一个交点；②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．
解：(1)当 x＝0 时，y＝1. 所以不论m 为何值，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象都经过 y 轴上的一个定点(0,1)． (2)①当m＝0 时，函数 y＝－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点； ②当m≠0 时，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点，则方程 mx2－6x＋1＝0 有两个相等的实数根，所以(－6)2 －4m＝0，解得 m＝9. 综上所述，若函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点，则 m 的值为 0 或 9. 【跟踪训练】 3 个． 4．抛物线 y＝2x2－5x＋3 与坐标轴的交点共有_______
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的 y 值为 0 时，就得到一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0.抛物线与 x 轴是否有交点就取决于一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 的根的个数的情况．
当 b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根； 当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴只有一个交点，此交点的横坐标是方程的根；
解析：∵二次函数的解析式为 y＝2(x－1)2＋m， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为直线 x＝1. ∵点 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)为二次函数 y＝2(x－1)2 ＋m 的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴 x＝1 的距离远 近顺序为 C(－4，y3)，B(3，y2)，A(2，y1)，