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集合知识点归纳

高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 1 —高中数学第一章-集合考试内容:集合、子集、补集、交集、并集.考试要求:(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.集合知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:二、知识回顾:(一) 集合1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征:确定性、互异性、无序性.集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ⊆;②空集是任何集合的子集,记为A ⊆φ;③空集是任何非空集合的真子集;如果B A ⊆,同时A B ⊆,那么A = B.如果C A C B B A ⊆⊆⊆,那么,.[注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×)②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ,则C B A = ∅, C A B = ∅ C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ∅).3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集.②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R }二、四象限的点集.③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集.高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 2 —[注]:①对方程组解的集合应是点集.例: ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2,1)}. ②点集与数集的交集是φ. (例:A ={(x ,y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅)4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n -1个. ③n 个元素的非空真子集有2n -2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题.②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题.例:①若325≠≠≠+b a b a 或,则应是真命题.解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真.②且21≠≠y x 3≠+y .解:逆否:x + y =3x = 1或y = 2. 21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分,又不是必要条件.⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围.3. 例:若255 x x x 或,⇒.4. 集合运算:交、并、补.【并集】在集合论和数学的其他分支中,一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合,而不包含其他元素。

基本定义 :若 A 和 B 是集合,则 A 和 B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素,而没有其他元素的集合。

A 和 B 的并集通常写作 "A ∪B"。

形式上:x 是 A ∪B 的元素,当且仅当 x 是 A 的元素,或 x 是 B 的元素。

举例:集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。

数字 9 不 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集,因为 9 既不是素数,也不是偶数。

更通常的,多个集合的并集可以这样定义:例如,A , B 和 C 的并集含有所有 A 的元素,所有 B 的元素和所有 C 的元素,而没有其他元素。

形式上:x 是 A ∪B ∪C 的元素,当且仅当 x 属于 A 或 x 属于 B 或 x 属于 C 。

代数性质:二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算,即 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C 。

事实上,A ∪B ∪C 也等于这两个集合,因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的,并集运算满足交换率,即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。

即 {} ∪A = A ,对任意集合 A 。

可以将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算,并集运算使任意幂集成为布尔代数。

例如,并集和交集相互满足分配律,而且这三种运算满足德·摩根律。

若将并集运算换成对称差运算,可以获得相应的布尔环。

【交集】数学上,两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素,而没有其他元素的集合。

A 和B 的交集写作 "A ∩B"。

形式上: x 属于 A ∩B 当且仅当 x 属于 A 且 x 属于 B 。

例如:集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集为 {2, 3}。

数字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11} 和奇数集合 {1, 3, 5, 7, 9, 11}的交集。

若两个集合 A 和 B 的交集为空,就是说他们没有公共元素,则他们不相交。

更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。

例如,集合 A ,B ,C 和 D 的交集为 A ∩B ∩C ∩D =A ∩(B ∩(C ∩D))。

交集运算满足结合律,即 A ∩(B ∩C)=(A ∩B) ∩C 。

最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。

若M 是一个非空集合,其元素本身也是集合,则x 属于M 的交集,当且仅当对任意M 的元素A,x 属于A。

一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作CsA.在集合论和数学的其他分支中,存在补集的两种定义:相对补集和绝对补集。

补集可以看作两个集合相减,有时也称作差集。

1:若A,B,C 是集合,则下列恒等式成立:C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B)C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B)C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B)(B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A)(B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C)A − A = ØØ − A = ØA − Ø = A若给定全集U,则 A 在U 中的相对补集称为A 的绝对补集(或简称补集),写作AC,即:AC = U − A与补集有关的运算规律求补律A∪CsA=SA∩CsA=Φ集合的性质:确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。

互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。

不能写成{1,1,2},应写成{1,2}。

无序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。

集合有以下性质:若A包含于B,则A∩B=A,A∪B=B集合的表示方法:常用的有列举法和描述法。

1.列举法:常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做列举法。

{1,2,3,……}2.描述法:常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字,符号或式子等描述出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做描述法。

{x|P}(x为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x|0<x<π}3.图式法:为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合。

常用数集的符号:(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N(2)非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作N+(或N*)(3)全体整数的集合通常称作整数集,记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q(5)全体实数的集合通常简称实数集,记作R(6)复数集合计作C高中数学高考总复习高三数学总复习一—集合— 3 —高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 4 —{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交:且并:或补:且C5. 主要性质和运算律(1) 包含关系:,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C (2) 等价关系:U A B AB A A B B A B U ⊆⇔=⇔=⇔=C (3) 集合的运算律:1.交换律A ∩B=B ∩AA ∪B=B ∪A2.结合律(A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C)(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C)3.分配律A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C)A ∪(B ∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C)2德.摩根律Cs(A ∩B)=CsA ∪CsBCs(A ∪B)=CsA ∩CsB列举法和描述法是表示集合的常用方式。

吸收律A ∪(A ∩B)=AA ∩(A ∪B)=A求补律A ∪CsA=SA ∩CsA=Φ(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法(零点分段法)①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”;(为了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来;③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?);④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.x高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 5 — (自右向左正负相间)则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论.0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2(0>a )的图象 一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅2.分式不等式的解法(1)标准化:移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0);)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式, (2)转化为整式不等式(组)⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f 3.含绝对值不等式的解法(1)公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.(2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论.(3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)(1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解之.(2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之.。

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