北京邮电大学２012——201３学年第1学期《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容(包括填空题）做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号!一. 单项选择题和填空题：(每空3分,共３0分)1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 ．Ａ (Ａ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （Ｂ)若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; （C)若12n A n =∈⋯A,,,，则1n n A ∞=∈A ;(D)若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃,则1n n A ∞=∈A .2. 设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c(A)若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-; （B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃,则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==；（C)若A B C ∈∈∈F,F,F,,则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++; （D)若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/,11()()n n n n P P A A ∞∞===∑．3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到B ｏrel 可测空间(),R B 上的实可测函数,表达式为1000()k A k f kI ω==∑,其中1000,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=,则fdP Ω=⎰ ;若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑４. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他， 则[[|]]E E X Y = .2/35． 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=,其中随机变量X 服从参数为1的指数分布,(0,/2)ωπ∈为常数,则（1)(1)X 的概率密度(;1)f x = ;（2）20(())E X t dt π=⎰ ．,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t =，则相关函数2(1,2)2X R σ=.７． 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（１）()11lim n n p→∞= ；(2)()330n n p ∞==∑ ． 1/2,2 二． 概率题（共30分） 1.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=，令22,U X Y V Y =+=， （1)求(,)U V 的概率密度(,)g u v ;(2)求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（１) 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得|,,u x v y v ⎧⎪=⎨⎪⎩≤=所以雅可比行列式220J u v ==-, 故2221||,(,)(,)||20,u e v u g u v f x y J σπσ-⎧≤⎪==⎨⎪⎩其他. ﻩﻩ……5分(２)对0u >，2221(,))2(u u U ug u e g u v d v v σπσ-∞-∞-==⎰⎰22222222u u u ue e u u σσπσσ---==⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他 ﻩﻩﻩﻩﻩ……10分2．(１0分）设(,)U V 的概率密度,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1)求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，(2)(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他. ﻩﻩﻩﻩﻩ……4分（1）101{1}|10111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==,所以2(|)12D U U V =。

ﻩﻩ 03.（10分）设12,,,n X X X 独立同分布，均服从两点分布,即11{0},{1}=1-,(01)P X p P X p p ===<<，令12n X X X Y +++=，(1）求Y 的特征函数；（2)求3()E Y .解: (1）因为Y 服从二项分布(,)B n q ,所以Ｙ的特征函数()()it n t p qe φ=+ﻩ ﻩﻩ ……5分（2）132()()n n E E X Y X X ++=+231,1,,,1,()()nnniij i j k i i j j ii j k EX E X X E X X X ====/=++∑∑∑互不相等23(1)(1)(2)nq n n q n n n q =+-+--ﻩﻩ……1０分三．随机过程题（共40分）1． (10分)设1()(0)X t t ≥是参数为(0)λ>的泊松过程,即满足： (1)1(0)0;X =(2)1()X t 为独立增量过程；(3)对,0,s t ∀≥有(){()()},0,1,!k tt e P X s t X s k k k λλ-+-===.2()(0)X t t ≥也是参数为(0)λ>的泊松过程,且与1()X t 独立，令12()()()Y t X t X t =+，（1)求()(,)Y Y t R s t μ和；(２)求{(1)1}P Y =.解:因为12()()()Y t X t X t =+是参数为2λ的泊松过程，所以(１)2()2(,),min{,}24Y Y t R s t s t st λμλλ==+ﻩﻩ……５分（2）2{(1)1}2eP Y λλ-==ﻩﻩ……1０分2. (10分) 设{(),}t X t -∞<<∞是平稳过程，()f λ是其谱密度函数,（1）证明：对于任意的0h >，()()()Y t X t h X t =+-是平稳过程；（２）求()Y t 的谱密度.解 （1）0[()][()()]E Y t E X t h X t μμ+-=-==，[()()][()()][()()]E Y t Y t E X t h X t X t h X t τττ+=++-++- ()()(2)X X X h h R R R τττ-=+--与t 无关，则()()()Y t X t h X t =+-是平稳过程。

ﻩﻩ ……5分（2）1()()()()]2[2X X X i h h d f e R R R λτηλττττπ+∞--∞=-+--⎰2()()()ih ih f e f e f λλλλλ-=-- 2()(1cosh )f λλ=-.ﻩﻩ ……10分3. (10分)设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间为}2,1,0{=E ,一步转移概率矩阵为1/21/41/41/201/21/21/20P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 初始分布为0001{0}{1}{2}3P X P X P X ======, 求(１) 124 {1,1,2}P X X X ===和1240 {1,1,2|=0}P X X X X ===; (2) 2X 的分布律.解 （１) 21/21/41/41/23/81/81/21/83/8P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)(1)(2)011112124 {1,1,2}0}{i iP X i X p P X p p X ======∑1240011112 {1,1,2|=0}(2)0P X X X X p p p ===== ……6分(2）21/21/41/4111(2)(0)1/23/81/8,2441/21/83/111,,,3338p p P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦……10分4.（10分）齐次马氏链{,0}n X n ≥的状态空间为{1,2,3,},一步转移概率矩阵为110000000022110000000022110000000022000100000011110000004444120000000033120000000033120000000033120033P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭确定该链的空间分解,状态分类,各状态的周期,并求平稳分布．解. (1)链可分, {1，４｝{3｝是不可分闭集, 状态空间{3}{1,{4}2,5,6,7,}E ⋃=⋃……2分(2) 周期()1,1,2,...d i i ==.ﻩﻩ ……４分(3） 设平稳分布为12(,,)πππ=⋯，则,11,1,2,i i i P i ππππ==≥=⎧⎪⋯⎪⎨⎪⎪⎩∑解之得(,0,,,0,0,)p q p π=，其中0,0,21q p p q ≥≥+=． 7……ﻩﻩﻩ分 (４) 所以1,3，４正返态，其余都不是常返态,又因为42241111,1,1,6,7,243ii f f f i =<=<=<=⋯,所以2,4,6,7,⋯都为非常返态。

ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ ﻩﻩ ……10分。