三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。
一． 基本型：或 cos y a x b =+解决策略：利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤三、形如22sin sin cos cos y a xb x x x =++ 型的函数解决策略：通过降幂再转化为sin()y A x ωϕ=+ 来求解例3.求 22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域解： 212sin cos 2cos y x x x =++ sin 2cos 22)24x x x π=++=++1sin(2)14x π-≤+≤ 所以所求函数的值域为2⎡⎣ 四、反比例型：形如 sin sin a x b y c x d+=+ 或cos cos a x b y c x d+=+解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。
例4、求函数1sin 2cos xy x-=-的值域方法一 解：由1sin 2cos x y x-=- 得 2cos 1sin y y x x -=-解：x R∈ 2sin(3y x π=+）[]sin()113x π∴+∈- ，∴函数的值域为分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性sin y a x b =+1≤分析：利用 sinx 的有界性1sin 1x -≤≤ 解： 12sin 13x ∴-≤+≤ []2sin 113y x ∴=+- 函数的值域为，2sin 1y x =+例1.求 值域。
sin cos y a x b x c=++),tan bx c aϕϕ=++=y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型解决策略：例2、求函数sin y x x=+[]22-，sin cos 12x y x y ∴-=-)12tan x y y ϕϕ-=-=其中sin()x ϕ∴-=sin()1x ϕ-≤1≤22(12)1y y ∴-≤+ 2434003y y y -≤∴≤≤方法二 解：此函数看做过定点A （2，1）和动点B （cosx,sinx ）的直线的斜率。
如图所示 因为点B 的轨迹是单位圆当直线和圆相切时斜率取最值设直线方程为1(2)y k x -=- 即1kx y -+由于直线与圆相切 1= 解得k=0或k=43所以函数1sin 2cos x y x -=-的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦五、二次型，形如 2sin sin y a x b x c =++解决策略：转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题 例5、求函数22sin cos 1sin x xy x=+的值域分析：切勿忽略了函数的定义域中，要求分母不为零解：y 22sin (1sin )1sin x x x-=+且 sin 1x ≠- 2112(sin )22y x ∴=--+1sin 1x -≤≤ 142y ∴-<≤ 所以函数的值域为14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦六、形如sin sin ay x x=+型的函数 解决策略：此类问题一般联想基本不等式，若不能用基本不等式，则可以利用函数的单调性加以解决 例6、求函数22sin cos 1sin x xy x-=+ 的值域分析：化同名三角函数式解：2sin sin 11sin x x y x+-=+ 21sin 1sin x x =+-+令1sin tx =+则 02t <≤ 2y t t =-由于2y t t=-在02t <≤时是增函数 所以函数的值域为(],1-∞七、解析式中同时出现了sin cos sin cos x x x x +和 解决策略：借助换元法，转化为二次型 例7.求函数sin cos sin cos y x x x x =++ 的值域 分析：借助换元法，转化为二次函数求值域解：设sin cos t x x t ⎡=+∈⎣则21sin cos 2t x x -= 原函数转化为2221111(1)12222t y t t t t -=+=+-=+- 112t y ⎡∈∴-≤≤⎣ 所以函数的值域为11,2⎡-⎢⎣ 总之三角函数求值域问题，体现了数学的转化思想1.通过三角函数的等价变形，将给定的函数转化为sin()y A x b ωϕ=++的形式2.通过化简及换元将给定的函数转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题。
典例精析：例1. 求函数2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的最大值和最小值。
解：令f(x)=y,则21sin 3y x y+=-，而sinx ∈[-1,1] 于是－1≤213y y+-≤1 所以 －4≤y ≤23例2．已知cosx+cosy=31，求cosx －sin 2y 的最大值和最小值。
解：cosx －sin 2y ＝cosx-(1-cos 2y)=cos 2y-cosy-23=(cosy-12)2-1112∵-1≤cosx =31-cosy ≤1 又-1≤cosy ≤1∴2cos 13y -≤≤∴cosx －sin 2y 的最大值为49，最小值为－1112例3．已知函数)0( cos sin 32sin2)(2≠++-=a b a x x a x a x f 的定义域为[0，2π]，值域为[－5，1]，求常数a 、b 的值。
解：6π)+2a+b∵x ∈[0，2π] 则72666x πππ≤+≤，于是1sin(2)126x π-≤+≤当a>0时，315a b b +=⎧⎨=-⎩，即25a b =⎧⎨=-⎩ 当a<0时，351a b b +=-⎧⎨=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩例4．求函数x x a x f 2cos sin 42)(--=的最大值和最小值。
解：f(x)=2-4asinx-(1-2sin 2x)=2sin 2x-4asinx+1 =2(sinx-a)2+1-2a 2设sinx=t,-1≤t ≤1,f(x)=g(t)=2(t-a)2+1-2a 2当a<-1时，f(x)的最大值为g(1)＝3-4a, f(x)的最小值为g(－1)＝3＋4a.当-1≤a ≤1时，f(x)的最小值为g(a)＝1-2a 2, f(x)的最大值为g(－1)或g(1)(其中之一).当a>1时，f(x)的最大值为g(-1)＝3+4a, f(x)的最小值为g(1)＝3-4a.*例5．已知0<α，β<2π，且sin βcsc α=cos(α+β),α+β≠2π,求tan β的最大值。
解：sin sin βα＝cos α·cos β－sin α·sin β (1sin α+sin α)sin β= cos α·cos β tan β=2sin cos 1sin ααα⋅+=22sin cos 2sin cos αααα⋅+=2tan 2tan 1αα+=112tan tan αα+≤此时tan α即tan四、巩固练习：1．当-2π≤x ≤2π时，函数sinx+3cosx 的（D ）A ．最大值是1，最小值是-1B ．最大值是1，最小值是-21 C ．最大值是2，最小值是-2 D ．最大值是2，最小值是-1 2．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为（A ）A ．1+2B ．2-1 C ．2D ．23．函数xx y cos sin 21++=的最大值是（B ）A ．22-1 B ．1+22 C ．1-22 D ．-1-224．函数f(x)=sin(πx+θ)cos(πx+θ)在x=2时取得最大值，则θ的一个值为（ B ）A ．45π- B ．43π- C ．47π D ．2π5．函数x x y cos 3sin +=在区间[0，2π]上的最小值为12,在区间[-2π，π]上的值域为6.函数sin 21x y =+的最大值是 3 ，最小值是32。
7．函数2tan 2tan 3y x x =-+的值域是 [2,+∞）。
8．已知函数R x x x x y ∈++= , 1cos sin 232cos 21 （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）求函数y 的单调增区间。
解：（1）11cos 2sin 212222x xy +=⋅++＝15sin(2)264x π++当2x+6π=2π+2k π，即x=6π+k π(k ∈Z)时，y 取最大值。
∴|,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）－2π＋2k π≤2x+6π≤2π＋2k π，,36x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z) 9．若2c o s 2s i n 220m m θθ+--<对θ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围。
解：1-sin 2θ＋2msinθ-2m-2<0 ∴m(2sin θ -2)< sin 2θ＋1 若sin θ＝1，0＜2恒成立。
若sin θ≠1，2sin θ-2<0 ∴2sin 12sin 2m θθ+>-右边＝2(sin 1)2(sin 1)22(sin 1)θθθ-+-+-＝－12(1sin 2)21sin θθ-+--≤1∴m>110．设214sin 2cos )(--+=a x a x x f （0≤x ≤2π）.(1)用a 表示f (x )的最大值M (a )； （2）当M (a )=2时，求a 的值。
解：（1）f(x)=-sin 2x+asinx －4a+12=221(sin )2442a a a x --+-+∵0≤x ≤2π ∴0≤sinx ≤1①0≤2a ≤1 0≤a ≤2, M(a)=21442a a -+②2a >1 a>2 , M(a)=M(1)= 3142a -③2a <0,a<0, M(a)=M(0)= 142a -+21442a a -+ 0≤a ≤2 ∴M(a)= 3142a - a>2142a -+ a<0 (2) 当21442a a -+＝2时，则a=3或-2（舍）当3142a -＝2时，则a=103当142a -+＝2时，则a=－6综上：a=103或a=－6。