1、有且只有两个平方项； 2、两个平方项异号。
用语言叙述为：如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方的差，
就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.
7.辨一辨
判一判！ 下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？
(1)4 x y
2 2
2
(2)4 x ( y )
2
2
(3) 4 x 2 y 2
2
√ ( 3) √ (4) √
×
1 1 2 2 x xy y x y 2 4
2
2
25m 30m 9 (5m 3)
2 2
2
(5) m 2mn n
2
√
(6) ( a b) 14( a b) 49
[(a b) 7]
2
(a b 7)
3 3 2 2
(5) x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x2-y2)(x-y)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)2(x+y)
（x－y）与（y－x）要先统一公因式
结论不规范
6、用提取公因式法对下列各式进行因式分解：
(1)6 x 4 y ( 2)8a b 12 ab c
4 3 3
变错符号
2 x (2 x y )
(3)4 x 2 x y x (4 x 2 y ) 分解不彻底； 3 3 2 2 2 2 (4)6a b 4a b 12ab 2ab(3a b 2ab 6) 6 a b 4 a b 12 ab 混淆因式分解与整式乘法的意义。
总结经验：分解因式三步曲
先看有无公因式, 再看能否套公式,
目标
：将因式分解进行到底.
知识点3：因式分解检测
1.把下列各式分解因式：
(1) a - 2a b + ab
2 2
3
2
2 2
(2)( x + 3 x) - ( x - 1) 1 4 (3) xy - 4 x y 16
2 2
特别要注意一些变 形后的多项式的分 解；要注意分析是 否完成因式分解
2+3x+2 x =
(x+2)(x-1) =x2+x-2
2-x-2 (x-2)(x+1) x = 分解因式: 2-3x+2 (x-2)(x-1) x = 2 x +4x+3= 5. (x+2)(x+3) = x2+5x+6 2-2x-3= x6. (x+2)(x-3) = x2-x-6 7. (x-2)(x+3) = x2+x-6 8. (x-2)(x-3) = x2-5x+6
2
D.a 4a 4 (a 2)
2
2
a 4a 4 (a 2)
2
因式分解
2
多项式
整式乘法(化简）
整式的积
因式分解与整式乘法是 互逆 的运算过程
2.辩一辨下列从左边到右边的变形
哪些是属于因式分解？
⑴ x(x-1)=x² -x； ⑵ x 4 x 2 x 2 ⑶ x² +2x=x(x+2)； 1 ⑷ a² +1=a(a+ ). a ⑸ x² +2x+1=x(x+2)+1
14.y2+9y-112= (y-7)(y+16) (y-8)(y-17) 15.y2-25y+136=
4.x 2-9x+20= (x-5)(x-4)
5.x2-3x-28= (x-7)(x+4) 6.x2-2x-8= (x+2)(x-4) 7.x2-4x+3= (x-1)(x-3) 8.x2+7x+12= (x+3)(x+4) 9.x2+5x+6= (x+2)(x+3) 10.x2+4x-21=(x-3)(x+7)
2
1 6 1 a 9
2

6a 1 9
2


=(a2-1)2-6(a2-1)+9
=(a2-1-3)2 =(a2-4)2
=(a+2)2(a-2)2
9、用公式法对下列各式进行因式分解：
(1) ( 2) (3) (4)
49m n 0.16a b 4 x 1 3 2 2 3 a b 2a b ab 2 2 4 x 20 xy 25 y 1 2 1 1 2 (5) a ab b 4 3 9 2 (6) (a b) 8(b a) 16
；
。
4、 指出下列多项式中各项的公因式
(1)ax+ay
a
(2)3mx-6mxy
如何找公因式？ (3)-8x2y+6xy
3 mx
— 2xy
数字因数也是公因式
经常使得提取后的首 项系数为正！
(4)12x3y5z-9x4y3+3x2y2
3 x2 y 2 2 (a+b)
(5)4(a+b)2-10(a+b)
2
典例探究 发散思维
因式分解
(3)
x 6x 9
2
2
2
x 3
2
变式：①
②
a 9 6a
2
(a 6a 9)
a 3
2
a b 6ab 9b
=b(a2-6a+9)=b(a-3)2 =(a-1-3)2=(a-4)2
③ ④
a 1
2
a
知识点3：因式分解检测
2、巧算：(1).7.2 2
2
2.8
2
2 2
(2).65 31 35 31 (3).199 199 394 197
100 (4). 2 98 392 4
2
100 100 100 1 2 2 2 2 98 2 98 2 2 (98 2) 100 100
3.书写格式：竖分横积
用十字相乘法进行因式分解：
1.x 2-x- 6 = (x+2)(x-3) 2.x2+2x-15= (x-3)(x+5) 3.x2-3x-10= (x+2)(x-5) 11.y2+9y-36= (y+12)(y-3) 12.y2+5y-126= (y-9)(y+14)
13.y2-11y-60= (y+4)(y-15)
知识点1：因式分解的概念
把一个多项式写成几个整式的积的形式叫 做因式分解. 也叫把多项式分解因式
1.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ D ）
A.(a 3)(a 3) a 9
2
B.a 4a 5 (a 2) 9
2 2
C.a 4a 5 a(a 4) 5
2
=[5(m+n)+4(m-n)][5(m+n)-4(m-n)]=(9m+n)(m+9n)
二、公式法2
[ 完全平方公式法因式分解 ]
a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab+ b2 ＝（a－b）2
能使用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
1、共有三项，有两个是平方项；
2、两个平方项同号。
⑹ y² -4=(y+2)(y-2)；
( X) ( X ) ( √) (X ) ( X )
(√ )
知识点2：因式分解知识点
3.我们学了哪些常用的因式分解的方法？
（1）提公因式法 （2）公式法 （3）十字相乘法 （4）分组分解法
一、提公因式法 例1、9 x 3 y 2
12 x y 6 xy
3 2 3
(3)9a 6ab 3a
2
( 4) 7 ab 14 abx 49 aby (5) 4 x
2n
6x
4n
二
公式法1
逆用乘法公式将多项式分解因式的方法叫公式法 常用的有平方差公式法和完全平方公式法 [ 平方差公式 因式分解]
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
能使用平方差公式分解因式的多项式的特点：
a b
2
2 2
2
a b a b
m n
4
=（n+m)(n-m)
2
m n
m n =(m2+n2)(m2-n2)=(m2+n2)(m+n)(m-n)
4
2
n m
2
=[（m+n)+(m-n)][(m+n)-(m-n)]
④
=4mn
25m n 16m n
(4) 4 x y
2
(5)a 4
2
2 2
(6)a 3
2
(7) 4( x y) ( x y)
=(x-y)2-4(x+y)2
=[(x-y)+2(x+y)][(x-y)-2(x+y)]
=(3x+y)(-x-3y) =-(3x+y)(x+3y)
典例探究 发散思维
因式分解
(2) ① 变式： ② ③
2 2
3
中各项的公因式是
2 3xy __________。 公因式 ：一个多项式每一项都含有的相同的因式，
叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法 ：就是将多项式的所有公有因式全部提 出来作为一个因式，其他因子作为另一个因式的方法 找公因式的方法： 各系数的最小公倍数 ； 相同字母 2）、字母是 1）、系数 3）、字母的次数 相同字母的最低次数