第10章二叉树法期权定价及其Python应用本章精粹蒙特卡罗模拟法便于处理报酬函数复杂、标的变量多等问题，但是在处理提前行权问题时却表现出明显的不足。

本章将要介绍的二叉树法可以弥补蒙特卡罗模拟法的这种不足。

二叉树的基本原理是：假设变量运动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，标的变量每次向上或向下的概率和幅度不变。

将考察期分为若干阶段，根据标的变量的历史波动率模拟标的变量在整个考察期内所有可能的发展路径，并由后向前以倒推的形式走过所有结点，同时用贴现法得到在0时刻的价格。

如果存在提前行权的问题，必须在二叉树的每个结点处检查在这一点行权是否比下一个结点上更有利，然后重复上述过程。

10.1 二叉树法的单期欧式看涨期权定价假设：(1) 市场为无摩擦的完美市场，即市场投资没有交易成本。

这意味着不支付税负，没有买卖价差(Bid-Ask Spread)、没有经纪商佣金(Brokerage Commission)、信息对称等。

(2) 投资者是价格的接受者，投资者的交易行为不能显著地影响价格。

(3) 允许以无风险利率借入和贷出资金。

(4) 允许完全使用卖空所得款项。

(5) 未来股票的价格将是两种可能值中的一种。

为了建立好二叉树期权定价模型，我们先假定存在一个时期，在此期间股票价格能够从现行价格上升或下降。

下面用实例来说明二叉树期权定价模型的定价方法。

1. 单一时期内的买权定价假设股票今天(t =0)的价格是100美元，一年后(t =1)将分别以120美元或90美元出售，就是1年后股价上升20%或下降10%。

期权的执行价格为110美元。

年无风险利率为8%，投资者可以这个利率放款(购买这些利率8%的债券)或借款(卖空这些债券)。

如图10-1所示。

今天 1年后t =0 t =1u S 0=120 上升20% 1000=Sd S 0=90 下降10%u 0max(u ,0)max(120110,0)10C S X =-=-=?0=Cd 0max(d ,0)max(90110,0)0C S X =-=-=图10-1 买权价格图10-1表示股票买权的二叉树期权定价模型。

现在股价为100美元，1年后股价有两种状态：上升20%后，股价记作u S ，为120美元，下降10%后，股价记作d S ，为90美元，执行价格为110美元，根据前面的介绍，股票买权的到期价格分别为10美元和0，那么在t =0时买权的真实值(内在价值)0?C =为了给这个买权定价，我们可以用这个股票和无风险债券的投资组合来模拟买权的价值。

这个投资组合在没有套利机会时等于这个买权的价格；相反，如果存在套利机会，投资者可以购买两种资产中较便宜的一种，出售较贵的另一种，而得到获利的机会。

然而，这只能在很短的时间出现。

这个投资组合不仅给出了买权的定价方法，而且还提供了一种对冲(套期保值)的方法。

假设投资者购买N 股股票且投资0B 在无风险债券上，那么投资组合今天的值为000C N S B =⨯+ (10-1)等式左端表示组合今天的值模拟买权的值，它们相等。

1年后股价上升20%，为120美元，买权价格为10美元；下降10%，股价为90美元，买权价格为0美元。

无风险债券为0(18%)B +，因此可得0120 1.0810N B += (10-2) 090 1.080N B += (10-3)从上面两式可以看出，1年后，无论股价如何变动并影响无风险资产的投资，它都是01.08B 。

由式(10-2)、式(10-3)可得10/(12090)0.3333N =-=和00.333390/1.0827.78B =-⨯=-(美元)0B 的负值表示以无风险利率借27.78美元或卖空这种债券。

代入式(10-1)，今天(t =0)的买权值为0000.333310027.78 5.55C N S B =⨯+=⨯-=(美元)如果今天的买权价格高于或低于5.55美元，即买权价格被高估或低估，这时投资者会采取什么行动呢？假设现在买权价格为10美元，投资者将以10美元出售这个买权，同时购买0.3333股股票且以无风险利率借27.78美元，那么在t =0时投资者有净盈利：10(0.333310027.78) 4.45-⨯-=(美元)在年底，即t =T =1，投资者的净盈余如表10-1所示。

表10-1 投资者的净盈余这就是说，无论股票的最终价格如何，净利润是零。

投资者使用这种策略没有风险损失。

只要买权定价在10美元，投资者现在都能得到不用付任何成本的盈利4.45美元。

显然，这不是均衡状态，买权价格最终要调整到已知现在股价为100美元时的5.55美元。

如果买权3美元出售，这时它被低估，投资者将购买一个买权，卖空0.3333股股票且以无风险利率借27.78美元，那么在t =0时投资者有净盈利：0.333310027.783 2.55⨯--=(美元)在年底，即t =T =1，投资者的净盈余如表10-2所示。

表10-2 投资者的净盈余因此，净利润是零。

投资者使用这种策略，无论股价最终是多少都没有风险损失。

只要买权价格为3美元，投资者就可获得不需付任何成本的盈利2.55美元。

因为这不是均衡状态，买权价格最终要调整到5.55美元。

2. 对冲比使用股票和无风险债券的投资组合模拟股票的买权。

如前面的介绍，借27.78美元且购买0.3333股股票，现在考虑股价变化的影响。

因为0.3333股股票包含在投资组合中，那么股票每变化1美元，投资组合变化0.3333美元。

由于买权和投资组合以相同价格出售，因此价格也随股价每变化1美元变化0.3333美元。

这里0.3333是股票股份额N ，把它定义为期权对冲比，即1000.333312090-=- 一般地，期权对冲比h 可定义为ud00u d C C h S S -=- (10-4) 式中u d C C ，分别表示期权上升和下降状态的最终价格；00u ,d S S 分别表示股票上升和下降状态的最终价格。

因此对冲比是期权与股票的上升状态和下降状态的最终价格之差的比，即基本资产变化1美元时期权的改变量。

用投资组合模拟买权，必须是购买h 股股票，同时卖空债券或无风险借款。

这个金额的现值是0d 0(d )/(1)B C h S r =-⨯+ (10-5)式中r 表示年无风险利率。

因此，t =0时的买权值是000C hS B =+ (10-6) 它等于对冲比与现在股价乘积与无风险借款之和。

它是式(10-1)的另一种解释。

将式(10-4)、式(10-5)入式(10-6)，整理可得f u f d0f (1)((1))(1)()r d C u r C C r u d +-+-+=+-令f 1r d p u d +-=-，则f (1)1u r p u d-+-=-所以0u d f [(1)]/(1)C pC p C r =+-+10.2 二叉树法的两期与多期欧式看涨期权定价股票价格在1年后不可能只有两个价格，我们可推广到多个价格的情形。

现在，把1年分成两个时期，各6个月。

如图10-2所示，在第1个时期(t =0.5T )，假设价格可能上涨20%或下跌10%，两个价格分别为120美元或90美元。

在第二个时期(t =T )价格可能还上涨20%或下跌10%，因此，价格分别为144美元、108美元和81美元。

仍假设买权的执行价格为110美元，年无风险利率为8%，那么今天的期权价格是多少？如图10-2所示。

今天 6个月 1年后 uu S 0=144 u S 0=120S 0 ud S 0=108 d S 0=90dd S 0=81C uu 2=max(0,uu S -X ) C u买方期C 0 C ud =max(0,ud S -X )C dC dd 2=max(0,dd S -X )图10-2 两个时期的买权价格从图10-2中可知，只要能得到t =0.5T 的买权价格u C 就可推出0C ，可根据式(10-4)、式(10-5)、式(10-6)按顺序倒推出来。

首次，d 0C =，因为年底股票价格低于6个月后的价格，或6个月后价格低于现在的价格。

投资者认为没有价值，所以，不愿付任何价格购买。

其次，6个月后，u C 的对冲比为0.53400.9444144108T h -==-0.50.9444108/1.0498.08T B =-⨯=-那么6个月后的买权值为u 0.944412098.0815.25C =⨯-=最后，今天(t =0)的对冲比为015.2500.508412090h -==-00.5084100/1.0448.89B =-⨯=-那么，今天的买权值为00.508410048.89 1.95C =⨯-=对于上面的计算过程，我们可得到更为一般的式子，从第2期末到第1期末，有uu ud u f (1)1pC p C C r +-=+，ud ddd f (1)1pC p C C r +-=+再从第1期末倒推到期初，我们有22uu ud dd02f 2(1)1)(1)p C p p C p C C r +-+-=+这些步骤可以推广到可能有n (2n ≥)个股票价格的情形。

只要把时期细分即可，如图10-3所示。

u 3S 0 u 2S 0u S 0 u 2d S 0 S 0 ud S 0d S 0 ud 2S 0 dd 2S 0d 3S 0C uuu C uuC u C uud C 0 C udC d C udd C ddC ddd图10-3 多期买权价格例如，初始价格为100美元，股票价格上涨或下跌的可能性相同，三个时期内股票价格可能增加20%或减少10%，我们能从以下的计算中得出股票价格的概率分布。

三时期内股票价格的变动有八种组合：uuu 、uud 、udu 、duu 、udd 、dud 、ddu 、ddd 。

每种都有1/8的可能性。

因此，股价在最后期末的概率分布如表10-3所示。

表10-3 期末的概率分布多次利用前面介绍的对冲比，二叉树看涨期权价格就是所有这些概率与到期期权价格的加权和。

一般地，我们设在n 期内股价上升i 次(从而下降n -i 次)，则最终股价为0u d i n i n S S -=，从而在i =n 的期权的价值为0max(u d ,0)i n i S X --一个有二项分布的随机变量，取u 的概率为p ，取d 的概率为1-p ，则取值0u d i n i S -的概率为!(1)!()!i n i n p p i n i --⨯-其中：p 表示风险中性概率。

由于n 可取0，1，2，…，n ，所以期权的期望价值为00!(1)max(u d ,0)!()!ni n i i n i i n p p S X i n i --=--⨯-∑ 在n 期的情形下，每一步朝后移动一期，最终得出均衡期权价格0C 。