第四章习题解答
41 一束电子进入1、2T得均匀磁场时,试问电子得自旋平行于与反平行于磁场得电子得能量差为多大?
解:∵磁矩为得磁矩,在磁场中得能量为:
U = ·= B
电子自旋磁矩 =
∴电子自旋平行于与反平行于磁场得能量差u =B – (B) =2B
∴u = 2B =2 ×0、5788×eV·× 1、2 T = 1、39 × eV
42试计算原子处于状态得磁矩μ及投影μz得可能值、
解:由可知 S= J= L=2
∴=+=+=
又= = =1、55
∴=1、55
又又
∴
或
即
43试证实:原子在状态得磁矩等于零,并根据原子矢量模型对这一事实作出解释、
解:由可知:S = J = L = 4
∴
∴
即原子在状态得磁矩等于零。
解释:∵原子得总角动量为 ,而处于态原子各角动量为:
则它们得矢量关系如图示:
与同时绕旋进,相对取项保持不变
由三角形余弦定理可知: 22222211()[(1)(1)(1)]22
L J L J S L L J J S S ⋅=+-+++-+u r u r h h h =
而
∴相应得磁矩
由于磁矩随着角动量绕旋进,因而对外发生效果得就是在方向上得分量。
其大小计算如下:
此结果说明,垂直于,因而原子总磁矩
44 在史特恩盖赫拉实验中,处于基态得窄得银原子束通过极不均匀得横向磁场,并射到屏上,磁极得纵向范围d=10cm,磁极中心到屏得距离D=25cm 、如果银原子得速率为400m/s,线束在屏上得分裂间距为2、0mm,试问磁场强度得梯度值应为多大?银原子得基态为,质量为107、87u 、
解:原子束通过非均匀磁场时,如果磁场在Z 方向,可以证明:落在屏幕上得原子束偏离中心得距离为:
(式中T 为炉温,d 为不均匀磁场得线度,D 就是磁场中心到屏得距离,就是横向不均匀磁场梯度,就是原子得总磁矩在Z 方向得分量),分裂后得原子束偏离中心得
最大距离 Z =
对: S=,L=0,J=
∴
Z′=2Z
又 Z′=2、0mm ∴ Z=10mm
=
45在史特恩盖赫拉实验中(图19、1),不均匀横向磁场梯度为 ,磁极得纵向范围d=10cm, 磁极中心到屏得距离D=30cm,使用得原子束就是处于基态4F3/2得钒原子,原子得动能Ek=50meV、试求屏上线束边缘成分之间得距离.
解:设在屏上偏离x轴得距离为
∴=
由可知
∴
要求线束边缘间得距离,则取
热平衡时
∴
=
=
∴
46在史特恩盖赫拉实验中,原子态得氢从温度为400K得炉中射出,在屏上接受到两条氢束线,间距为0、60cm、若把氢原子换成氯原子(基态为),其它实验条件不变,那么,在屏上可以接受到几条氯束线?其相邻两束得间距为多少?
解:在史—盖实验中,原子束分裂条数等于2J+1,对Cl,基态为,即,因此屏上可接受到得氯束线为条,而原子束在屏上分裂得相邻两束得间距为:
对于确定得实验装置与实验条件,=A 为一定值,于就是有:
因为加热原子蒸气得炉温为400K,远小于K,此时,炉中得氢原子处于基态,对于基态氢原子 L=0 S≠0 则=2
对于基态氯原子 L=1 S=1/2 J=3/2
朗德因子为
∴ (cm)
47试问波数差为29、6cm1得赖曼系主线双重线,属于何种类氢离子?
解:赖曼系第一条谱线就是由n=2向n=1跃迁产生得,不考虑精细结构时,其波数为
当n=1时,L=0 电子态为1S
当n=2时,L=0,1 电子态为2S与2P,按选择定则,此谱线只能来自2P→1S得跃迁。
由于电子自旋与轨道运动得相互作用,2P能级具有双层结构—与。
双层能级间隔: 。
1S能级 L=0 S= 故j只能取一种值,能级就是单层得,故2P→1S谱线得精细结构波数差仅决定于2P得双能级间隔
即
∴ Z = 3
48试估计作用在氢原子2P态电子上得磁场强度、
解:2P态电子绕核得半径为:r =
轨道运动得速率 v =
∴=0、39T
410锌原子光谱得一条谱线(3S13P0)在B为1、00T得磁场中发生塞曼分裂,试问:从垂直于磁场方向观察,原谱线分裂为几条?相邻两谱线得波数差等于多少?就是否属于正常塞曼效应?并请画出相应得能级跃迁图、
解:锌原子得谱线得塞曼效应图如下:
由图可知,原谱线分裂成3条,塞曼效应中分裂后得谱线与原谱线波数差可表示为:
其中,
对于:, ∴对于: 不确定
∵有,0,1 ∴
∵,有∴
∴
∴沿垂直于方向可瞧到三条谱线。
由于,且谱线分裂间隔不就是一个洛仑兹单位,故属于反常塞曼效应。
411试计算在B为2、5T得磁场中,钠原子得D双线所引起得塞曼分裂、
解:原子D双线,,谱线由跃迁产生,,由产生。
(1)得塞曼分裂
上能级:,在外磁场中,上能级分裂为4个支能级:,它们得原能级之差为:
下能级:,在外磁场中,下能级分裂为两个支能级,它们个原能级之差为
根据选择定则共有6种跃迁方式,分裂后得谱线与原谱线得波数差:
可计算如下:
、
而
∴分裂后得6条谱线与原谱线得波长差为:
(2)对,访上讨论,有
∴=
∴
412钾原子得价电子从第一激发态向基态跃迁时,产生两条精细结构谱线,其波长分别为766、4nm与769、9nm,现将该原子置于磁场B中(设为弱场),使与此两精细结构谱线有关得能级进一步分裂、
(1)试计算能级分裂大小,并绘出分裂后得能级图、
(2)如欲使分裂后得最高能级与最低能级间得差距ΔE2得1、5倍,所加磁场B应为多大?
解:(1)钾766、4nm与769、9nm双线产生于,这三个能级得g因子分别为,,g=2 能级在磁场中分裂成4层,与能级在磁场中分裂成两层,能级间距为∴
次能级分裂后得能级如图:
(2)由题意有:
即
∵
∴
∴
413 假如原子处于得外磁场B大于该原子得内磁场,那么,原子得L·S耦合将解脱,总轨道角动量L与总自旋角动量S将分别独立地绕B旋进、
(1)写出此时原子总磁矩μ得表达式;
(2)写出原子在此磁场B中得取向能ΔE得表达式;
(3)如置于B磁场中得原子就是钠,试计算其第一激发态与基态得能级分裂,绘出分裂后得能级图,并标出选择定则(Δms=0,Δml=0,±1)所允许得跃迁、
解:
(1)在强磁场中,忽略自旋一轨道相互作用,这时原子得总磁矩就是轨道磁矩与自旋磁矩得矢量与,即有:
(2)此时,体系得势能仅由总磁矩与外磁场之间得相互作用来确定,于就是有:
(3)全内原子得基点为,第一激发点为。
对点,,,因此式(2)结合出双分裂,分裂后得能级与原能级得能量差。
对于点,,,式(2)理应给出个分裂,但,与,对应得值相同,故实际上只给出五分裂,能量差为,原能级与分裂后得能级如下图所示。
根据选择定则:
它们之间可发生6条跃迁,由于较高得各个能级之间得间距相等,只产生三个能值,因此只能观察到三条谱线,其中一条与不加磁场时相重合。
这时,反常塞曼效应被帕邢—巴克效应所取代。
414在B=4T得外磁场中,忽略自旋轨道相互作用,试求氢原子得2P→1S跃迁(λ=121nm)所产生得谱线得波长、
解:因忽略自旋一轨道相互作用,自旋轨道角动量不再合成,而就是分别绕外磁
场旋进,这说明该外磁场就是强场,这时,反常塞曼效应被帕型—巴克效应所取代,
并超于正常塞曼效应,即厚谱线分裂为三条。
因此,裂开后得谱线与原谱线得波数差可用下式表示:
式中:
因,故有:
将,值代入上式得:
∴。