2017—2018学年度第一学期期中测试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}4,2,1=A ，{}4,3,1=B ，则集合=⋂)(B A U C ▲ ．2．函数)1lg()(x x x f -+=的定义域为 ▲ ． 3．已知⎩⎨⎧->--≤+=)1(,1)1(,2)(2x x x x x f ，求[]=-)2(f f ▲ ．4. 如果幂函数αx x f =)(的图象过点)2,2(，则=)4(f ▲ ．5. 若指数函数xa x f )12()(-=是R 上的减函数，则a 的取值范围是▲ ．6. 不等式1log )1(21≥+x 的解集为 ▲ ．7．设2.033.03log ,2,2.0===c b a ，则c b a ,,按照由大到小的关系是 ▲ ．（用“>”号连接）8. 若方程2log 3=+x x在区间),(b a 上有一个零点（b a ,为连续整数），则=a b▲ ．9. 已知函数2)12(log )(-+=x x f a 的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是 ▲ . 10. 设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，,22)(a x x f x--=则=)1(f▲ ．11. 已知}{,32+<≤=a x ax A }{51<<-=x x B ，若B B A = ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．函数x x y +-=12的值域为 ▲ ．13. 已知定义域为),0()0,(+∞-∞ 的奇函数()f x 在(0)+∞，上为减函数，且0)2(=f ，则不等式0)()(>--xx f x f 的解集为 ▲ ．14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=4,351240,log )(22x x x x x x f ，若存在d c b a <<<且满足)()()()(d f c f b f a f ===，则abcd 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本题满分14分）记R 为实数集，函数22)(++-=x x x f 的定义域为集合M ，函数22)(2+-=x x x g 的值域为集合N 。

用区间的形式表示各集合并求下列小题：（1）M ，N ； （2）N M ,N R C M 。

16．（本题满分14分）求下列各式的值： （1）444343403331)4(16])2[()1()3(027.0--+---+-----πππ；（2）3log 2212558log 2lg 20lg 5lg 8lg 3225lg +-+⨯++。

17．（本题满分14分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资A 类产品的收益与投资额成正比（x k x f 11)(=），投资B 类产品的收益与投资额的算术平方根成正比（x k x f 22)(=）。

已知投资16万元时，A ，B 两类产品的收益分别为2万元和4万元。

（1）分别写出A ，B 两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭有32万元资金，全部用于理财投资A ，B 两类产品，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益（)()()(21x f x f x f +=），其最大收益是多少万元？18． (本题满分16分)已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，2log )()4(2-=-x x f 。

（1）求函数)(x f 的表达式；（2）利用定义证明函数)(x f 在)0,(-∞上为单调减函数；（3）若0)3()1(2<-+-a f a f ，求a 的取值范围。

19.（本题满分16分）已知二次函数b ax ax x f ++-=12)(2，满足2)1(=-f ，值域为),0[+∞。

(1)求二次函数)(x f 的解析式；(2)若函数kx x f x g -=)()(在]1,1(-上是单调函数，求k 的取值范围；(3)若不等式02)2(≥•-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围。

20．（本题满分16分）设函数m nx mx x f +--=43)(2，其中R n m ∈,。

（1）若1==n m ，求函数)(log 2x f 在区间]4,1[上的取值范围； （2）若1=n ，且函数)(x f 在区间]1,1[-上恰有一个零点，求实数m 的取值范围； （3）若1=m ，对任意的]1,1[、21+-∈n n x x ，都有6)()(21≤-x f x f ，求n 的取值范围。

2017-2018学年度第一学期期中测试高一数学试卷参考答案一，填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1. {}3,2 2. {}10或)1,0[<≤x x 3. 1- 4. 25.121<<a （集合或区间都行） 6. ]21,1(--（或集合） 7. c a b >> 8. 2 9. )2,0(- 10. 23- 11. 3或221≥≤<-a a （集合或区间都行） 12. ),2[+∞-（或集合） 13. )2,0()0,2( -（或集合） 14. )35,32(（范围或集合）二，解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 解：（1） ⎩⎨⎧≥+≥-0202x x ………… ……2分22≤≤-∴x∴]2,2[-=M ………………4分1)1()(2+-=x x g … ……………5分),1[+∞=∴N ………………7分（2）由（1）可得),2[+∞-=N M………………10分)1,(-∞=N C R ………………12分 ∴ )1,2[)(-=N C M R………………14分 （注：根据不同的方法，可酌情给分） 16. 解：(1)原式=)4(881)3(310ππ--+-+--（一个一分） =310 ………………7分(2)原式=9log 2232558log 2lg )4lg 5(lg 5lg 8lg 25lg ++++⨯++159312=+++= ……………14分（前两个结合得出结果2分，中间两个得出结果2分，后两个各一分）（注：根据情况可酌情给分，但没有过程只有答案，只给结果各1分。

）17. 解：（1）由题意得⎩⎨⎧====44)16(216)16(2211k f k f 解得⎪⎩⎪⎨⎧==18121k k ………………2分 ∴),0[,81)(1+∞∈=x x x f ； ………………4分 ),0[,)(2+∞∈=x x x f 。

………………6分（注：根据不同的方法，可酌情给分，但定义域未写扣1分） （2）设投资B 类产品为x 万元，则投资A 类产品为（32-x ）万元，x x x x x f +-=+-=∴814)32(81)( ………9分令)0(,≥=t t x ，则有2t x =)0(,481)(2≥++-=∴t t t t f ………11分 ∴当4=t 时，即16=x ，6)16()(max ==f x f 。

………13分答：投资A 类产品为16万元，B 类产品为16万元时，理财收益最大，最大为6万元。

…14分（注：根据其它方法可酌情给分，未写答案扣一分） 18. 解：（1） 当0>x 时，0<-x ，且)(x f 为R 上的奇函数，2)4(log ]2)4([log )()(22++-=-+-=--=∴x x x f x f ………2分⎩⎨⎧≥++-<--=∴0,2)4(log 0,2)4(log )(22x x x x x f ………4分（2）证明：在)0,(-∞上任取21x x <，则有 ………5分 2)4(log 2)4(log )()(221221+----=-x x x f x f)44(log 212x x --= ………7分021<<x x ，04421>->-∴x x ，14421>--∴x x ， ………8分0)44(log 212>--∴x x ，0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >， ………9分)(x f ∴在)0,(-∞上为单调减函数。

………10分 （3）)(x f 为R 上的奇函数，且在)0,(-∞上为单调减函数， )(x f ∴在R 上为单调减函数。

………12分 0)3()1(2<-+-a f a f ，)3()3()1(22-=--<-∴a f a f a f312->-∴a a ， ………14分解得)2,1(-∈a 。

………16分 （注：根据其它方法可酌情给分）19. （1）由题意得，⎩⎨⎧=+•-=∆=+++=-0)1(44212)1(2b a a b a a f ， ………2分解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2121b a ……………3分∴二次函数)(x f 的解析式为2121)(2+-=x x x f 。

----------------------4分 (2) 21)1(21)()(2++-=-=x k x kx x f x g 在]1,1(-上是单调函数， 11-≤+∴k 或11≥+k ， ---------------------6分 2-≤∴k 或0≥k 。

---------------------8分(3) 令212)1()2(21)2()(2+•+-=-=x x x k kx f x h 令t x =2，]1,1[-∈x ，]2,21[∈∴t 。

0)2()(≥-=kx f x h x 在]1,1[-∈x 上恒成立转化成021)1(21)(2≥++-=t k t t h 在]2,21[∈t 上恒成立， ---------------------9分 ∴当211≤+k 时，即21-≤k ， 只需0)21()(min ≥=h t h 即可，解得41≤k ，21-≤∴k ； ---------------------11分 当2121<+<k 时，即121<<-k ， 只需0)1()(min ≥+=k h t h 即可，解得02≤≤-k ，021≤<-∴k ；-------13分 当21≥+k 时，即1≥k ，只需0)2()(min ≥=h t h 即可，解得41≤k ，此时无解； ---------------------15分 综上所述0≤k 。

---------------------16分 20.解：（1）当1==n m 时，41)(2+-=x x x f ， ∴41log log )(log 2222+-=x x x f ， ----------1分 令t x =2log ，]4,1[∈x ，]2,0[∈∴t ， ----------2分 41)(2+-=∴t t t f ， 此二次函数的对称轴为]2,0[21∈=t ， ]49,0[)(log 2∈∴x f ； ----------4分（2）1=n 时，m x mx x f +--=43)(2， 当0=m 时，043)(=--=x x f ， ]1,1[43-∈-=∴x ，0=∴m 符合题意； ----------5分当0≠m 时， （i ）0134)43(412=++-=+--=∆m m m m 且]1,1[21-∈m ， 解得1=m 或（舍去）41-=m ； ----------6分（ii ）0)472)(412()1()1(<-+=•-m m f f , 解得8781<<-m ； ----------7分 （iii ）当0)1(=-f 时，81-=m ，此时08781)(2=---=x x x f ， 解得1-=x 或71-=x ，在]1,1[-有两个零点，不合题意； ----------8分 （iv ）当0)1(=f 时，87=m ，此时08187)(2=+-=x x x f ， 解得1=x 或71=x ，在]1,1[-有两个零点，不合题意； ----------9分 综上所述m 的取值范围为8781<<-m 或1=m 。