从几何直观上看也十分明显：
xmax l r ,
xmin l r ,
s (l r ) (l r ) 2r 200(mm)
Ⅱ．滑块的加速度及其最值
2 2 4 r ( l cos 2 r sin ) a 2 r cos 3 2 2 2 2 (l r sin )
2 2 4 r (l cos 2 r sin ) 2 a r cos 3 2 2 2 (l r sin ) 2
(8.5)
d 2 r 2 sin (l 2 r 2 ) 3 2 dt (l 2 r 2 sin 2 ) 2
8.3 数学模型
取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x 轴上的坐标为x，那么可用x表示滑块的位移。 利用三角关系，立即得到
x r cos l 2 r 2 sin2
(8.1)
(8.2)
5
t
dx dx d dx dt d dt d
x r cos l r sin
r x1 r cos l sin2 2l
2
(8.1)
(8.13)
表8.1列出了 从0到π位移一些相应数值（单位：mm）。 考虑到对称性和周期性，只要计算这一区间中的 函数值就可以了。
15
表8.1

/ 12
2 / 12
x
0
400.000 395.475 382.407 362.258 337.228
l
(8.20)
13
r 1 sin (8.19) l r r3 2 sin 3 sin 3 l 6l
(8.20)
相应的近似角速度为 d 1 r cos (8.21) dt l r d 2 r3 2 或 cos 3 sin cos （8.22） dt 2l l 近似角加速度为 d 2 2 r 1 sin （8.23） 2 dt l
(8.11)
虽然我们已经得到了有关变量的解析式，但是要求出问题的 解并非十分简单。由于滑块加速度和摆角角加速度的函数表达 式（8.5）和（8.11）相当复杂，从这两个式子来了解这两个量 并不方便，而要用它们进一步求出极值则更加不易（当然，可 9 以借助数学软件来进行，我们把这一点留给读者）。
由于数学模型本身是对实际问题的抽象，从而也必 定有某种简化和忽略。即使我们得到了问题的解析形 式解，一般说来，它仍然是对实际情况的近似。为了 方便起见，对较为复杂的解析模型进行近似处理常常 是必要的。事实上，在曲柄连杆结构（以及不少工程 问题）的研究中，确实经常使用着这个方法。 8.4 近似模型
(8.4)
进而，可以得到滑块的加速度为
6
d d a dt d
2 2 4 r (l cos 2 r sin ) 2 r cos 3 2 2 2 (l r sin ) 2
(8.5)
同样，基于关系式
l sin r sin
/ 12 2 / 12 3 / 12
4 / 12
5 / 12
/2
7 / 12
8 / 12
18
9 / 12 10 / 12
44 027.5 43 568.4 42 562.8 42 110.3
44 079.9 43 590.5 42 564.8 42 110.3
44 664.7 44 175.3 42 778.9 42 110.3
x r cos l 2 r 2 sin2
将位移的表达式（8.1）改写为
(8.1)
1 2
r2 2 x r cos l 1 l 2 sin
a
(1 ) 1 a , 1
(8.12)
10
滑块位移的近似模型为2 r 2 x1 r cos l sin (8.13) 2l 从而有相应的近似速度 dx1 dx1 d r2 1 r sin sin 2 dt d dt 2 l r r sin sin 2 (8.14) 2l 和近似加速度 d1 r 2 a1 r cos cos 2 (8.15) dt l 这里速度和加速度是直接对近似位移模型求导得来， 而不是对v和a的精确表达式（8.4）和（8.5）的近似。 11
2 2 2
(8.1)
dx r sin cos r sin d l 2 r 2 sin 2
2
(8.3)
dx dx d dx v dt d dt d
于是滑块的速度
r cos r sin 1 2 2 2 l r sin
r2 一般而言，2 是远比1小的数， l
当然，我们也可以直接从滑块速度的解析式 （8.4）进行近似。
r cos v r sin 1 2 2 2 l r sin
(1 ) 1 a , 1
a
(8.4)
(8.12)
仍利用公式（8.12）
arcsin , 1 (8.18) 6 r arcsin sin (8.7) l 得到摆角的近似模型。 r 粗略一些，可以取 1 sin (8.19)
3
而必要时，可以取
r r3 2 sin 3 sin 3 l 6l
1 r2 2 1 2 sin 2 2 2 l l l r sin 1

1 2
1 r2 2 1 2 sin l 2l
把上式代入（8.4），就得到滑块速度的近似模型 r cos r2 2 2 r sin 1 1 2 sin l 2l
利用精确表达式（8.5）和近似表达式（8.15）、（8.17），
(8.5)
d1 r 2 a1 r cos cos 2 dt l
(8.15)
（8.17） 17
3 2 2 r cos 2 r (sin 2 2sin cos 2） 2 a2 r cos 3 l 4 l
计算滑块的加速度。注意加速度仍具有对称性和周期性。 表8.2列出了一些相应的数值（单位：mm/s2 ）： 表1.2 mm/s
2

0
a
－84 220.6 －79 463.6 －65 837.4 －45 302.0 －21 086.8 2 739.2 22 332.4 35 436.1 42 078.6
4 5 从表上看出：零点在 、 12 12
11 / 12
从表8.2中可以看出，用加速度的近似公式计算， a2 的结要相当好。 a1 的结果稍微差一些， 考虑到在应用近似模型时，表达式的推导和有关 计算工作量都将明显地减少，因此在某些情况下，这 样的做法还是合适的。 加速度绝对值的最大值从表8.2立即得到。 无论用哪种模型，均在 0 a a2 a1 84 220.6 (mm / s 2 )
a2
－84 220.6 －79 461.5 －65 815.3 －45 249.6 －21 055.2 2 684.8 22 224.9 35 381.7 42 110.3
a1
－84 220.6 －79 247.5 －65 230.5 －44 664.7 －21 055.2 1 885.9 21 055.2 34 582.7 42 110.3
3 d 2 2 r r 2 3 或 sin 3 (sin sin 2 cos ) （8.24） 2 dt 2l l
14
8.5 问题的解法和讨论 Ⅰ．滑块的位移和行程 利用滑块位移的解析式（8.1）和近似式（8.13），
x r cos l 2 r 2 sin2
我们有摆角的表达式
r arcsin sin l
(8.6)
(8.7)
d d l cos r cos r cos 式（8.6）对t求导， dt dt
7
d r cos dt l cos
由此再得
d sin cos cos sin 2 d r dt 2 dt l cos 2 (8.9)
19
至于加速度绝对值的最小值，显然是加速度的零点。 之间。 运用方程求根的数值方法，例如Newton法，对于加 速度的三种表达式，分别可以得出 1.2772 0.407时 , a 0 1.2773 0.407时 , a2 0 1.2862 0.409时 , a1 0 因此在求加速度（绝对值）的最值时，近似模型 也是十分有效的。
利用（8.6）， l sin r sin r cos 不难由上两式导出 d
dt
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(8.6)
2
l r sin
(8.10)
d 2 r 2 sin (l 2 r 2 ) 3 2 dt (l 2 r 2 sin 2 ) 2
(8.11)
8
至此，我们得到了滑块位移x和连杆摆角 运动规律中有关变量依赖 的表达式。 滑块的加速度为
x1
400.000 395.476 382.436 362.377 337.500
mm
3 / 12
8 / 12
….. 10 / 12
11 / 12
……
209.201 202.289 200.000
……
209.231 202.291 200.000

行程可以从表8.1中的值求得，
16
s 400 200 200(mm)