二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
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向量组a1,a2 ,,an(n 2) 线性相关 向量组 a1,a2,,an 中至少有一个向量
矩阵分析引论
Matrix Theory
《矩阵论》是高等院校理、工科研 究生的一门重要基础课程。 有人认为， “ 科学计算，归根结底就是矩阵的计 算 ” 。 因此，对于将来从事科学技术 工作的研究生来说 ，矩阵理论和方法 是必不可少的数学工具。
第一章 线性空间与线性变换
• R3 －最为形象、具体的集合 • 集合的结构属性（彼此相容） 1.集合论：交、并、补运算 2.拓扑结构：度量空间（距离空间） 3.代数结构：向量的加法与数乘 4.欧氏几何学：正交、长度、夹角 5.测度论：点集的长度、面积、体积等
n 称为线性空间V的维数，V称为n 维线性空间.
dimV n,
n为有限数时,称V为有限维线性空间.
则称V为数域P上的线性空ห้องสมุดไป่ตู้（L.S.).
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
① 可以证明： 零向量是唯一的. 01 01 0 0 01 0. 负向量是唯一的.
(a )1 (a )1 0 0 (a )1 (a (a )) (a )1 ((a ) a ) (a )1 (a ) (a (a )1) a 0 a
能由其余向量线性表示.
向量组a1,a2 ,,an 线性无关 向量组 a1,a2,,an 中任一向量都不能
由其余向量线性表示.
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定义1-3：基、维数、有限维线性空间 设V是数域P上的线性空间，若V 中的 n 个向量
a1,a2，,an 满足下述条件： (1) a1,a2，,an 线性无关； (2) V中的任一向量都可由a1,a2，,an 线性表示. 则向量组 a1,a2，,an 称为线性空间V的一个基,
定义1-2：线性相关,线性无关,线性组合,线性表示
设 a1,a2 ,,an是线性空间V(P)的一组向量，
如果存在P中一组不全为0的数 k1, k2 ,, kn，使得
k1a1 k2a2 knan 0 成立，则称向量 a1,a2,,an 线性相关.
若等式 k1a1 k2a2 knan 0 当且仅当
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
② 可以证明：
0a 0, k0 0, (1)a a . ka 0 的充要条件是 k 0 或 a 0.
③ 可以定义元素的减法为
a b a (b ).
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注：线性空间V(P)
• 一个数域P，其元素称为标量； • 一个集合V，其元素称为向量；
• “加法”运算：运算结果唯一、封闭
且满足：交换律、结合律、
存在零元(称为零向量)、存在负元
• “数乘”运算：运算结果唯一、封闭
且满足：
1a a
k(la ) (kl)a
(k l)a ka la k(a b ) ka kb
三、线性空间举例
例1 V {(x1, x2,, xn ) x1, x2,, xn P}, 记为Pn .
例2 Pmn { A (aij )mn aij P};
例3
P[t ]n
P(t)
P(t)
n1
akt k ,ak
P ;
k0
例4 C[a,b] f ( x) f ( x)是[a,b]上的连续实函数;
k1 k2 kn 0 时才成立，
则称这组向量线性无关.
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设a1,a2 ,,an 是V(P)中的向量，k1, k2 ,, kn 是P中的数，则 k1a1 k2a2 knan 称为向量a1,a2,,an 的线性组合.
例5 S X Pn X是齐次线性方程组AX 0的解;
例6 R : 全体正实数；数域为R. 定义加法及数乘
运算为: a b ab ; (a , b R ) k a a k . (k R,a R )
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
四、基、维数