| T | = || || ·|| || , 线 性 相 关 . 其中 , 为 Rn 中的向量， k R .
可以得到将 Rn 中的非零向量化为
单位向量，称为将向量标准化的方法：
若 量.
事实上， 1 1 1 1.
例 如 设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , 则
|T | = || || ·|| || , 线性相关.
其中 , 为 Rn 中的向量， k R .
内 内((积 积 3 3 )) 的 的 的 的性 性 证 证质 质 明 明 (( 1 1 ))证 证明 明 T T = = 当 T T ;; = 0 时 ， | T | | | | | ·| | | | 显 然 成 立 (( 2 2 ))，((以 k k 下 )) T T设 = = k k T T 0 .;; 令 t 是 一 个 实 变 数 ， 作 向 量 (( 3 3 )) (( + + ))T T = = = + T Tt + +. T T ;; 由 (( 4 4 )) T T可 知 0 0 ，,, 不且 且论 t取 T T 何 = =值0 0， 一定 = =有0 0 ..
1
T (1,1,1,1)012 2,
3
T
(1,
1,
1,
1)
0 12
0,
1
T (1, 1, 1, 1)111 4,
等等.
2. 内积的性质
(1) T = T ; (2) (k )T = kT ; (3) ( + )T = T + T ; (4) T 0 , 且 T = 0 = 0 . 其中 , , 为 Rn 中的任意向量，k R .
n
T ai2 i1
如果 || || = 1，则称 为单位向量. 例如，
T
(1,0)T,
2, 2
22
均为 R2 中的单位向量.
2. 长度的性质
(1) || || 0 , 且 || || = 0 = 0 ;
(2) || k || = | k | ·|| || ; (3) |T | || || ·|| || , 且
T = ( + t )T ( + t ) 0 . 即
T + 2 T t + T t 2 0 .
内 内((积 积 3 3 )) 的 的 的 的性 性 证 证质 质 明 明 (( 1 1 ))证 证明 明 T T = = 当 T T ;; = 0 时 ， | T | | | | | ·| | | | 显 然 成 立 (( 2 2 ))，((以 k k 下 )) T T设 = = k k T T 0 .;; 令 t 是 一 个 实 变 数 ， 作 向 量 (( 3 3 )) (( + + ))T T = = = + T Tt + +. T T ;; 由 (( 4 4 )) T T可 知 0 0 ，,, 不且 且论 t取 T T 何 = =值0 0， 一定 = =有0 0 ..
即 在 标 准 基 下 的 坐 标 为 (d1 , d2 , … , dn) ， 恰 为 的各个分量.
设 在基 1 , 2 , … , n 下 的坐标 为 (x1 , x2 , … , xn)
则有 x11 + x22 + … + xnn =
二、向量的内积
1. 内积的定义 定义 2.18 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2
例 1 分别求向量 = (d1 , d2 , … , dn)T Rn，
在标准基 1 , 2 , … , n 和基 1 = (1, 0, …, 0)T ,
2 = (1, 1, …, 0)T , … , n = (1, 1, …, 1)T 下的坐标.
解 由于 = (d1 , d2 , … , dn)T = d11 + d22 + … + dnn ,
… , bn)T 为 Rn 中的两个向量，则 b1
T(a1,a2, ,an)b bn 2a1b1a2b2anbni n1aibi
称为向量 与 的内积. 显然， T R .
例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , = (3, 0, -1, -2)T , 则
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
T = ( + t )T ( + t ) 0 . 即
T + 2 T t + T t 2 0 .
3. 非零向量的单位化
由性质
长度的性质 (1) || || 0 , 且 || || = 0 = 0 ; (2 ) || k || = | k | ·|| || ; (3 ) | T | || || ·|| || , 且
由性质 (1) , (2) , (3) 可推出：
( k11 + k22 )T = k11T + k22T , T ( k11 + k2 2 ) = k1T1 + k2T2 .
三、向量的长度
1. 长度的定义
定义 2.19 设 = (a1 , a2 , … , an)T Rn ，称
T 为向量 的长度(或模)，记作 || || . 即
12 12 12 12 2,
12 ( 2 ) 2 0 2 ( 1) 2 6 ,
第六节 Rn 的标准正交基
向量空间的基 向量的内积 向量的长度 标准正交基 正交矩阵
在 3 维空间 R3 中，向量可以通过其坐标唯一确 定出来，并由此研究向量的性质和向量间的关系. 将 坐标的概念推广到 Rn 中，有
2. 向量在基下的坐标
定义 2.17 设 1 , 2 , … , n 为 Rn 的一组基，