c1s c2 s ( 1)( 1) k1 k2 G( s ) c1s c2 s c1s ( 1)( 1) k1 k2 k2 1 对比：R1 c1 R2 c2 C1 k1
1 C2 k2
三、传递函数的表达形式
1．多项式分式形式 X o ( s ) bm s m b1s b0 G( s) X i ( s ) an s n a1s a0 2．零极点增益形式 分子、分母首一化，再分解因式
0
特点： （1）一般不能单独存 在； （2）反映输入的变化 趋势； （3）增加系统阻尼； （4）强化噪声。
iC du i (t ) dt
du i (t ) uo (t ) Ri RC dt U o ( s) G( s) RCs U i ( s)
4．惯性环节 微分方程： Tx o (t ) xo (t ) xi (t )
2
特征量——
时间常数： T
固有振荡频率： n 1T
阻尼比：
0 1 : 欠阻尼（振荡） 1： 临界阻尼 1 : 过阻尼
时间响应：
单位阶跃响应 欠阻尼 1 过阻尼 临界阻尼 t 0
例10：
特点： （1）0<ξ<1,输出存在 振荡，ξ越小，振荡越 剧烈 ； （2）ξ>1，输出无振荡， 由两一阶惯性环节组成。
例：求传递函数
k2 c1 k1
c2
xi
xo
k2
A
c2 c1
B
xi
xo
x2
k1
二、相似性原理 相似系统： 能用形式相同的数学模型来描述的两个系统； 相似量： 在微分方程或在传递函数中占有相同 位置的物理量。
ui (i2 i1 )R1 uo
1 (i2 i1 ) R1 i1dt C1 1 uo i2 R2 i2 dt C2
（3）一切物理系统都有n≥m 3．传递函数的物理意义 传递函数是系统单位脉冲响应的象函数
xi (t ) (t ) ， X i (s) 1
X o ( s) G( s) X i ( s) G( s)
1 1
xo (t ) L1 [ X o ( s)] L1[G( s)] w(t ) G( s ) L[ w(t )]
实例：齿轮传动副 比例运算放大器
X o ( s) z1 G( s) K X i ( s) z2
ui(t) R1 ∑
xo(t) z2
uo(t)
R2 R2 u o (t ) u i (t ) G ( s ) K R1 R1
1 微分方程： xo (t ) xi (t )dt T X o ( s) 1 传递函数：
§2.2 系统的传递函数
一、传递函数
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
( m) ( m1) bm xi (t ) bm1xi (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
K bm / a n 系统增益 零极点增益形式：
N ( s) ( s z1 )( s z2 )( s zm ) G( s ) K K D( s ) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
K
( s zi ) (s p j )
j 1 i 1 n
m
( n m)
零点： s=-zi(i=1,2,…m) 极点： s=-zj(j=1,2,…n)
3．典型环节形式 分子、分母“末1化”，再分解因式
G( s) K (1s 1) s(T1s 1)(T 2 s 2 2Ts 1)
4．传递函数相互转换的MATLAB命令 （1）多项式形式的表达 num=[bm bm-1 … b1 b0]; den=[an an-1 … a1 a0]; g=tf(num,den) （2）零极点形式的表达 Z=[z1;z2];P=[p1;p2+j*p3; p2-j*p3];K=k; d=zpk(Z,P,K) （3）多项式与零极点形式的转换 [Z,P,K]=tf2zp(num,den) [num,den]=zp2tf(Z,P,K)
(t)
t

0 t

6．振荡环节
2 T x o (t ) 2Tx o (t ) xo (t ) xi (t ) 微分方程：
x o (t ) 2n x o (t ) n xo (t ) n xi (t )
2 2
传递函数：
n 1 G ( s) 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
U o ( s) 1 U i (s) LCs 2 L s 1 R
7．延迟环节
微 分 方 程 ： x o (t ) x i (t )
X i ( s)e s 传递函数：G( s) e s X i ( s)
( L [ f (t )] F ( s)e s )
例 4：
U o ( s) RCs Ts G( s) U i (s) 1 RCs Ts 1
5．一阶超前环节 （一阶微分环节）
i (t ) xi (t ) xo (t ) 微分方程： Tx
传递函数： G( s) Ts 1 时间响应：
单位阶跃响应 1 0
单位斜坡响应 t
特点：输出滞后于输入，但不失真。
G( s)
2．积分环节
Xi ( s)
1 Ts
Xo ( s)
时间响应：
X i ( s)

Ts
T >1
单位脉冲响应 T 1 T` > 1 1 0 图 2.6.7 t
单位阶跃响应
特点： （1）输出累加； （2）输出滞后； （3）记忆功能。
t
例 8：
0
积分 环节的时间响应
ui (t ) du o (t ) C R dt
k2 ( xi xo ) c2 ( x i x o ) c1 ( x o x 2 ) k1 x2 k2 ( X i ( s) X o ( s)) c2 s( X i ( s) X o ( s)) c1s( X o ( s ) X 2 ( s )) k1 X 2 ( s ) c1sX o ( s ) X 2 ( s) c1s k1 X o ( s) (c1s k1 )(c2 s k2 ) G( s ) X i ( s ) (c1s k1 )(c2 s k2 ) c1k1s c1s c2 s ( 1)( 1) k1 k2 c1s c2 s c1s ( 1)( 1) k1 k2 k2
例:
dxo (t ) T xo (t ) kxi (t ) dt
L: TsX o ( s ) X o ( s) kX i ( s )
(Ts 1) X o ( s ) kX i ( s )
X o ( s) k G( s) X i ( s) Ts 1
2.讨论 (1)传递函数的分母是系统特征多项式，分子 反映系统与外界的关系。 G(s) Xi (s) X (2) X o (s) G(s) X i (s) o( s) 时域函数 xo (t ) L [ X o (s)] L [G(s) X i (s)]
传递函数： G ( s )
时间响应： 例 3：
ui i R
1 0.632 0 T
1 Ts 1
0.98 4T t 4T 3T 0 误差 T
4T t
特点： （1）存在储能元 件和耗能元件； （2）在阶跃输入 下，输出不能立 即达到稳态值。
C uo
1 ui (t ) idt iR C u o (t ) iR
k2 c1 k1 c2 xi
i2 i1
C1 R1
i2
xo
ui
C2 R2
uo
先做L变换，再消去I1(s)、I2(s)
U o ( s) ( R1C1s 1) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1) R1C2 s
常用机电相似系统：力—电压相似系统, 力—电流相似系统
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) RCs
3．微分环节
i ( t ) 微分方程： xo (t ) Tx
Xi ( s)
Ts
Xo ( s)
X o ( s) Ts 传递函数：G( s) X i ( s)
时间响应： 例 5：
(t) >1 1 0
t
>1 t
(n m) 作拉氏变换（在零初始条件下） n m (an s a1s a0 ) X o ( s) (bm s b1s b0 ) X i ( s) (n m) 1.定义：
m b s b1s b0 (n m) L[ xo (t )] X o ( s) m G( s) n a s a1s a0 L[ xi (t )] X i ( s) n
diL (t ) ui (t ) L uo (t ) dt 1 uo (t ) RiR (t ) iC (t ) dt C
iL (t ) iR (t ) iC (t )
LCuo (t ) L uo (t ) uo (t ) ui (t ) R
G( s)
四、典型环节
典型环节的微分方程、传递函数
微分方程：xo (t ) Kxi (t ) ；
传递函数: G( s) K
Xi ( s ) K
1．比例环节
Xo( s )
时间响应： K
1 0
K >1 t 0
K >1 t