]x2010年考研数学一真题一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

)⑴极限皿—［金而］_(A) l (B)e (C)e a ~b(D)e b ~a【考点】Co 【解析】 【方法一】 这是一个“I 00”型极限Um [—— l x(x-a)(x+b) (a-b)x+ab j (a-D)x+ad J(x- a)(x+ b)X 【方法二】 原式="Hl 評”(x-a )("b)XT 8rfii/im xln ----- - ----- = lim x/n(l +xt8 (x-a)(x+&) xt8(x-a)(x+&)【方法三】对于“18”型极限可利用基本结论: 若Mm a(x) = 0, lim 0(x) = 0,且"m(a-b)x^ab (―a)(+)lim x •*T8(a-b)x+ab (x-a)(x+b)(等价无穷小代换)x 2DM)a(x) 0(x) = A]x由于"mis Q (x)0(x) = Um曽；驚；；)• x XT8 (x-a)(x+fc)■ • (a -b)x 2^abxf=恐乔亦Li 则叫g[高而F =宀【方法四】综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学一函数、极限.连续一无穷小量的性质及无穷 小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(A)x (C)-x【答案】Bo 【解析】 空=_鱼=_只(-召)+ E (一刼=Eg+f 茫 缺 F ； 磅 叫 9dz °y综上所述，本题正确答案是(B)。

所以唏+y 辭警現F , yfi -珈X 2(x-a)(x+b).：(x-a)(x+b)]-XX 2=塑a 一 沪•慟(i+「宀ea 'b(2)设函数z = z(x,y)由方程 F (gm =0确定，其中F 为可微函数，且f”2工°，则燈+琲=(D)-z因为【考点】高等数学一多元函数微分学一多元函数的偏导数和全微(3)设m,ri 为正整数，则反常积分的收敛性【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在x t 0+在反常积分中，被积函数只在"0+时无界。

由于勺囂-小n °,且反常积分A 备收敛，所以A “w 必收敛2 2综上所述，无论取任何正整数，反常积分匸%常F 必收敛。

(A)仅与m 的取值有关 (B) 仅与n 的取值有关 (C) 与m 川的取值都冇关【答案】Do(D) 与的取值都无关ntlim XT0在反常积分£少2(一)29加2(1_尤)、八 ~乐~_umJln 1 2(l-x)dx 中.被积函数只在尢t 1-时无界，由于------ -- —=Vi-x2_伽迦羊=0 XT1 (1-护(洛必达法则)综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学一一元函数积分学一反常积分（4）/un n ->oo XJLi Z;=i （n+i ）（以+/2）【答案】Do 【解析】 因为"mH Y n =i _^_ = "叫 T8 器 1 5：7=1 n(1+i )n "(1+(z )2)综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的概 念、性质、计算和应用⑸设力为mxn 矩阵，B 为nxm 矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB = E,则(A)秩 r(4) = m,秩 r(B) = m (B)秩 r(4) = m,秩 r(B) = n (C)秩 r(/l) = M ,秩 r(B) = m(D)秩 rQ4) = n,秩 r(B) = n【答案】Ao 【解析】(A)/o dxfo (+)：2)dy(C)J ；dxj ；(+)；+y)dy(i+x )(i+y)dy(D"(>Q (+)爲/y因为AB = E%m阶单位矩阵，知r(AB) = m又因r(4£?) < min (厂(A),厂(B)),故m < r(A),m < r(B)另一方面，A为mxn矩阵，B为nxm矩阵，又有r(i4) < m, r(B) < m可得秩r(4) = m,秩r(B) = m综上所述，本题正确答案是A。

【考点】线性代数一矩阵一矩阵的秩(6)设4为4阶实对称矩阵，且护+力=o,若川的秩为3,则力相似于1 1(A ) 11(B)1-10. 0.■ ■1 ■ ■-1(C ) -1-1(D)-1-10. 0【答案】Do【解析】由4a = Aa, a丰0知4"^ = 2n a,那么对于4? + 4 = 0推出来(A2 + A)a = 0=>A2 + A = 0所以4的特征值只能是0、-1再由力是实对称矩阵必有A〜A,而A是4的特征值，那么由“力)=3,可知D正确综上所述，本题正确答案是D。

【考点】线性代数一特征值与特征向量一实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵0, x < 0,扌，0<x< 1，侧 P{X = l-e~x,x>l.1}= (B 耳 (D) l-e -1【答案】Co 【解析】1 1P{X = 1} = F(l) — F(1 — 0) =1 — €一丄——= ----- g —i2 综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一随机变量分布 函数的概念及其性质(8)设/i(x)为标准正太分布的概率密度，£(x)为[-1,3]±均匀分布得概率密度，若为概率密度，贝忆”应满足x v o_J(a>0f b>0) x > 0/>(A)2a + 3b = 4 (B)3a + 2b = 4 (C)a + b = 1(D)a + b = 2【答案】Ao【解析】((A)0根据密度函数的性质严8「0广+81=1f (x)dx = I af^x^dx + I bf 2Mdx丿一 8 丿―8 丿0r+00'f2(x)dx 0丿一8 a [ f\(x)dx + b 丿一8/1（X ）为标准正态分布的概率密度，其对称中心在x = 0处，故EU ）为［-13上均匀分布的概率密度曲数，即★、- 1 < x < 3 fiW = M0,其他所以1 = a广 8f 3l 310加)必=[严蔦・扌+吩可得2a + 3b = 4综上所述，本题止确答案是A 。

［考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一连续型随机变 最的概率密度，常见随机变最的分布二、填空题（9〜14小题，每小题4分，共24分。

）（9）设｛y =石 i n （i + u2）du ，则总【答案】0ot=0【解析】 【方法一】d2y d r…1“ 2t n d^=di[~e ln(1 + t )],r(o = e【e十Zn(1 +t )]【方法二】由参数方程求导公式知，d 2y\ _ y"(O)0(O) 一 x 〃(0)y ，(0) 丽 L 。

= x z (t) = —e 一：尢〃(t) = e _t ,x'(0) = —l,x n(0) = 1代入上式可得 g|f O = 0o 【方法三】由x = e -t得，t = -Inx,则r-lnxIn (1 + u 2)du o学=一打71(1 +加2小ax xd 2y 1 o 2lnx"3_2 = ~2 "(1 + 加 x) — -------- J —2~] dx 2 x 2 L 1 + Zn 2x J当r = o 时x = 1,则"y【考点】高等数学一一元函数微分学一基本初等函数的导数，复 合换数、反西数.隐两数以及参数方程所确定的函数的微分法(10) _____________________ Q yjxcosy/xdx = o【答案】—411。

d 2y=1 • [0 + 0] = 0,y /(t) = Zn(l + t 2),y f/(t) =2t厂卞»(0) = 0?〃(0) = 0=0t=o综上所述，本题正确答案是0。

dx 2【解析】令V7 =匚则x = t2f dx = 2tdtr托2 /• 7T r 7TI y/xcosy/xdx = I 2t2costdt = 2 I t2dsint = Jo丿0 丿0=2t2sint\Q一4 Q tsintdt=4tcost\o - 4 costdt = -4TT综上所述，本题正确答案是-4兀。

【考点】高等数学一一元函数积分学一基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(11)已知曲线厶的方程为y = 1 - M.x e [-1,1],起点是(-1,0),终点是(1,0),则曲线积分丄xydx + x2dy =_____________ 。

【答案】0。

【解析】如图所示L = s + 其中厶i：y = 1 +〔(-1 < x < 0)丄2：y = 1 - x,(0 < x < 1)+ x2dy + f L xydx + x2dy所以h xydx + x2ciy = f xydxL J I=+ x) + x2] dx + J^[x(l + x) —x2] dx=J：[2x? + x] dx + f^[x — 2x2] dx = 0综上所述，本题正确答案是0。

【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲线积分的概念、性质及计算(12) ________________________________________________ 设0 = {(x,y,z)\x1 2 +y2 <z <l]f贝山的形心坐标Z = _____________________ 。

1 o =121=?32综上所述，本题正确答案是2【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(13)设cq = (l,2,-l,0)r,a2 = (l,l,0,2)r,a3 = (2,1,1,a)T,若由a v a2,a2生成的向量空间的维数为2,则a = ________________ 。

【答案】6。

【解析】a v畋，口3生成的向量空间的维数为2,所以可知，r(a p a2,a3) = 2【答案】【解析】zdxd y dz _fo nde^ rdr fr2zdzZ~ fffn dxd y dz ~ f^dOf^rdrf^dz_ _ C(T - |0den n2 21 12 0 13 0 0 a — 6 0 0 0 .所以可得Q — 6 = O f a = 6 综上所述，本题正确答案是6。

【考点】线性代数一向量一向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩 之间的关系，向量空间及其相关概念(14)设随机变量X 的概率分布为P{X = M = = 0,1,2,…,则EX?=【答案】2o 【解析】泊松分布的概率分布为P{X = k} = ^-e~A,k = 0,1,2,…,KI随机变量X 的概率分布为P{X =町=和 =0,1,2,… fv • 对比可以看出C = 〜P(l)所以 EX = DX= 1,而 EX2 = DX + (EX)2= 1 + l 2= 2 综上所述，本题正确答案是2。