★三角函数图像变换小结★
相位变换：
①()sin sin()0y x y x ϕϕ=→=+> 将sin y x =图像沿x 轴向左平移ϕ个单位 ②()sin sin()0y x y x ϕϕ=→=+< 将sin y x =图像沿x 轴向右平移ϕ个单位
周期变换：
①sin sin (01)y x y wx w =→=<< 将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的
w
1倍 ②sin sin (1)y x y wx w =→=>将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
w
1倍 振幅变换：
①()sin sin 01y x y A x A =→=<<将sin y x =图像上所有点的横坐标不变，
纵坐标缩短为原来的A 倍
②()sin sin 1y x y A x
A =→=>将sin y x =图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的
A 倍
【特别提醒】
由y ＝sin x 的图象变换出y ＝Asin(x ω＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（0ϕ<）平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
ω
1
倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω
1
倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向()0ϕ<右平移ω
ϕ|
|个单位，便得y ＝sin(x ω＋ϕ)的图象
【特别提醒】若由sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移|
|ϕ
ω
个单位
为了得到函数3sin 5y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
上所有的点（ ） （A ）向右平行移动
5π个单位长度 （B ）向左平行移动5π
个单位长度 （C ）向右平行移动25π个单位长度 （D ）向左平行移动25
π
个单位长度
（2011·朝阳期末）要得到函数sin(2)4
y x π
=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 ( )
（A ）向左平移
4π单位 （B ）向右平移4π
单位 （C ）向右平移8π单位 （D ）向左平移8
π
单位
(09山东文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A. 2
2cos y x = B. 2
2sin y x = C.)4
2sin(1π
++=x y D. cos 2y x =
【方法总结】
①将()y f x =图像沿x 轴向左平移a 个单位 ()()y f x y f x a =→=+ ②将)(x f y =图像沿x 轴向右平移a 个单位 ()()y f x y f x a =→=-
为了得到函数3sin 25y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
上所有的点（ ） （A ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 （B ）横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变 （C ）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 （D ）纵坐标缩短到原来的1
2
倍，横坐标不变
（2010四川文）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） （A ）sin(2)10y x π=-
（B ）y =sin(2)5x π
-
（C ）y =1sin()210x π- （D ）1sin()220
y x π
=-
(2011·广州期末)若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移
4
π
个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin y x =的图象,则()y f x =的解析式为( ) A ．sin 214y x π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭ B ．sin 212y x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
C ．sin 214y x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭ D ．sin 212y x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
【方法总结】
将()y f x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
w
1
倍 ()
()(0)y f x y f wx
w =→=>
为了得到函数4sin 5y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，只要把3sin 5y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
上所有的点（ ） （A ）横坐标伸长到原来的
43倍，纵坐标不变 （B ）横坐标缩短到原来的3
4倍，纵坐标不变 （C ）纵坐标伸长到原来的43倍，横坐标不变 （D ）纵坐标缩短到原来的3
4
倍，横坐标不变
【方法总结】
将()y f x =图像上所有点的横坐标不变，横坐标变为原来的A 倍
()
()(0)y f x y Af x
A =→=>
为了得到函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3
π
试述如何由y =31sin （2x +3
π
）的图象得到y =sin x 的图象
函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，
（2010重庆理）（6）已知函数sin()(0,)2
y x π
ωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则（ ）
A. ω=1
ϕ= 6
π
B. ω=1 ϕ= —6π
C. ω=2 ϕ= 6
π D. ω=2 ϕ= —6
π
（2010天津文）（8）右图是函数sin()y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛
⎫
>><
⎪⎝
⎭
在区间5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的图像为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ） (A)向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【规律总结】
sin()y A x ωϕ=+的图像
（１）相邻的对称轴之间的距离为半个周期； （２）相邻对称中心间的距离是半个周期； （３）相邻的对称轴和对称中心之间的距离为
1
4
个周期。

（2010湖北文）已经函数22cos sin 11
(),()sin 2.224
x x f x g x x -=
=- (Ⅰ)函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最小值，并求使用()h x 取得最小值的x 的集合。

（2010广东理）已知函数()()sin 3f x A x ϕ=+ ()0,0A ϕπ><<在12
x π
=时取得最大值4．
(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α+12π)=125
,求sinα．。