习题八A 组1.假设总体X ～)1,(μN ，从中抽取容量为25的样本，对统计假设0:,0:10≠=μμH H ，拒绝域为X 0={}392.0≥x 。

（1）求假设检验推断结果犯第Ⅰ类错误的概率。

（2）若3.0:1=μH ，求假设检验推断结果犯第Ⅱ类错误的概率。

解：（1）{}{}001H H P P α==犯第I 类错误拒绝成立={}0392.0=>μX P{}{}96.10392.0>==>=n X P X P μ，所以05.01=α（2）{}{}00H H P P β==犯第II 类错误接受不成立{}3.0392.0=≤=μX P {}6769.046.0)3.0(46.3=<-<-=n X P2.已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小时）服从正态分布。

过去，显像管的平均寿 命是15000小时，标准差为3600小时。

为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生 产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800=x 小时。

若用假设检验方 法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。

解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X 表示，由题意知：X ～),(2σμN )90000,5000(N（2）统计假设：15000:0≤μH ，15000:1>μH(3)假设σ与过去一样为3600小时，那么检验方法为U 检验法，检验统计量为：nX U σ15000-=显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}α->1u u ={}645.1>u（4）推断：因为U 的样本值为不在X 0 内，所以接受原假设，即在显著水平05.0=α 下，认为新技术没有提高显像管的寿命。

3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。

现在使用一个新系统运行9个程序，所需的计算时间（秒）分别是：30，37，42，35，36，40，47，48，45。

假设一个系统试通一个程序的时间服从正态分布，那么据此数据用假设检验方法推断新系统是否减少了现行系统试通一个程序的时间。

解：设新系统试通一个程序的时间为X ，由题意知X ～),(2σμN 。

统计假设：0H ：45≥μ，1H ：45<μ 检验统计量为：n SX T 45-=拒绝域为：X 0 ={})1(-<n t t α={}859.1-<t推断：因为T 的样本值为 ∈X 0，所以拒绝0H ，接受1H ，即新系统减少了现行系统试通一个程序的平均时间。

4.甲制药厂进行有关麻疹疫苗效果研究，用一个人注射这种疫苗后的抗体强度X 表示。

假 定X 服从正态分布。

另一家与之竞争的乙制药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度为。

甲厂为证实其产品比乙厂有更高的抗体强度，随机抽取了16样本，获得下表所示数据：问在显著水平05.0=α下能否认为甲厂产品有更高的抗体强度。

解： 由题意知X ～),(2σμN 。

统计假设：0H ：9.1≤μ，1H ：9.1>μ 检验统计量为：n SX T 9.1-=拒绝域为：X 0 ={})1(1->-n t t α={}753.1>t推断：因为T 的样本值为∈X 0，所以拒绝0H ，接受1H ，即可以认为甲厂产品有更高的抗体强度。

5.某机器加工的B 型钢管的长度服从标准差为公分的正态分布。

现从一批新生产的B 型钢管中随机选取25根，测得样本标准差为公分。

试以显著性水平1%判断该批钢管长度的变异性与标准差比较是否有明显变化。

解：设某机器新生产的一批B 型钢管的长度为X ，由题意知X ～)4.2,(2μN 。

统计假设：0H ：224.2=σ，1H ：224.2≠σ检验统计量为：2224.2)1(S n -=χ拒绝域为：X 0 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<)1(222n αχχ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-)1(2212n αχχY ={}886.92<χ{}559.452>χY推断：2χ的样本值为，不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著性水平1%下，新生产的钢管长度的变异性与标准差比较无明显变化。

6.某厂生产的某种电池寿命（单位：小时）长期以来服从标准差为70小时的正态分布。

今 有一批这种电池，为判断其寿命的波动性是否较以往有所变化，随机抽取了一个容量为26 的样本，测得寿命的样本标准差为75小时。

问在显著水平05.0=α下，这批电池寿命的 波动性较以往是否显著增大解： 设电池寿命为X ，由题意知X ～),(2σμN 。

统计假设：0H ：2270≤σ，1H ：2270>σ检验统计量为：22270)1(S n -=χ 拒绝域为：X 0 ={})1(212->-n αχχ={}652.372>χ推断：2χ的样本值为，不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著性水平05.0=α下，这批电池寿命的波动性较以往没有显著增大。

7.在选择一个新建超市的位置时需要考虑很多因素，其中超市所在地附近居民的收入水平是 重要的因素之一。

现有A 、B 两地可供选择，A 地的建筑费用较B 地低。

如果两地居民的 年均收入相同，就在A 地建筑。

但若B 地居民的年均收入明显高于A 地，则选在B 地建 筑。

现从A 、B 两地的居民中分别抽取了100和120户居民，经调查分析知：A 地年均收 入28650元，B 地年均收入29980元。

若已知A 地居民年收入标准差是4746元，B 地居 民年收入标准差5365元，问超市在何地建假设A 、B 两地居民年收入（单位：元）服从 正态分布。

解：假设A 、B 两地居民年收入（单位：元）分别为X,Y 。

由题意知X ～)4746,(21μN ，Y ～)5365,(22μN 。

统计假设：0H ：21μμ≥，1H ：21μμ< 检验统计量为：mnYX U 2221σσ+-=显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}αu u <={}645.1-<u推断：因为U 的样本值为∈X 0，所以拒绝0H ，接受1H ，即在显著水平05.0=α下，可以认为B 地居民年平均收入明显高于A 地，应在B 地建超市。

8.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对， 再随机选取8架飞机，将8对轮胎磨损量（单位：mg ）数据列表如下：假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别为X ～),(21σμN ，Y ～),(22σμN ，且两个样本相 互独立。

试问在显著水平05.0=α时，甲、乙两种轮胎的耐磨性是否有显著的差异 解： 统计假设：0H ：21μμ=，1H ：21μμ≠检验统计量为：mnS Y X T 11+-=ω，22212(1)(1)2n S m S S n m ω-+-=+-拒绝域为：X 0 =)}2({21-+>-m n t t α=}145.2{>t推断：因为T 的样本值为不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著水平05.0=α下，可以认为甲、乙两种轮胎的耐磨性无显著差异。

9.设甲、乙两工厂生产同一种零件，现从这两个工厂生产的零件中分别抽测8个和9个，测得其外径（单位：mm ）分别为：假定零件外径服从正态分布，试乙厂生产的零件精度是否比甲厂生产的高（05.0=α） 解：假定甲、乙两厂生产的零件外径分别为X ，Y ，由题意知X ～),(211σμN ，Y ～),(222σμN统计假设：0H ：2221σσ≥，1H ：2221σσ<检验统计量为：2122S F S = 拒绝域为：X 0 ={})1,1(--<m n F F α=}268.0{<F推断：因为F 的样本值为不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著水平05.0=α下，可以认为乙厂生产的零件精度比甲厂生产的高。

10.一项调查结果显示某市老年人口比重为%。

该市老年人口研究协会为了检验该项调查是否可靠，随机抽选了400名居民，发现其中有57人是老年人。

问调查结果是否支持该市老年人口比重为%的看法（05.0=α）。

解：设某市老年人口比例为p 。

（1）统计假设：147.0:0=p H ，147.0:1≠p H (2)检验统计量为：1)1(147.0---=n X X X U ，(3)05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}21{} 1.96u u u α-=>=>（4）推断：因为U 的样本值为不在X 内，所以接受原假设，即在显著性水平为5%下调查结果支持该市老年人口比重为%的看法。

11.某机构声称5年来各种新发行债券的承销价高于面值的比率低于50%，现随机抽取了60只新发行的债券，其中有24只的承销价高于面值。

问上述说法是否可接受（0.05α=） 解：设5年来各种新发行债券的承销价高于面值的比率为p （1）统计假设：5.0:0≥p H ，5.0:1<p H (2)检验统计量为：1)1(5.0---=n X X X U ，(3)05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}αu u <={}32.2-<u（4）推断：因为U 的样本值为不在X 内，所以接受原假设，即在显著性水平为下不接受该机构的说法。

12.某大公司的人事部门希望了解公司职工的病假是否均匀分布在周一到周五，以便合理安排工作。

如今抽取了100名病假职工，其病假日分布如下：试问该公司职工病假是否均匀分布在一周五个工作日中（05.0=α） 解：设公司职工的病假时间为X(1)统计假设：0H ：X 服从周一到周五的均匀分布，分布律为()5,4,3,2,1,2.0====i p i X P i(2) 检验统计量： =2χn npi ii -∑=512ν，（3）拒绝域为: X 0=}488.9{)}1({2212>=->-χχχαm（4）推断：检验统计量的样本值为，不在拒绝域里，接受0H ，可以认为该公司职工病假在五个工作日中是均匀分布。

13.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如下：组限 ～ ～ ～ ～ 频数 5 8 20 34 组限 ～ ～ ～ ～ 频数17664试问螺栓的口径X 的分布是否服从正态分布（05.0=α）。

解：(1)统计假设：0H ：X ～),(2σμN(2) 求2,σμ的极大似然法估计值。

001.0ˆ,002.11ˆ*22====m x σμ(3) 检验统计量： =2ˆχn pn i ii -∑=812ˆν，（4）拒绝域为: X 0=}071.11{)}1(ˆ{2212>=-->-χχχαr m （5）推断：在0H 成立的条件下计算：=-Φ=)032.0)002.1195.10((ˆ1p=2ˆp; =3ˆp ; =4ˆp ; =5ˆp;=6ˆp ;=7ˆp ;=8ˆp 检验统计量2ˆχ的样本值为，不在拒绝域里，接受0H ，可以认为螺栓的口径X 的分布服从正态分布。