高考等值试卷★预测卷文科数学（全国Ⅲ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ={x |x 2≤x }，B ={x ||x |≥1}，则A ∩B = A ．∅ B ．[01]，C ．{1}D ．()-∞+∞， 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z (1+i)=2i ，则z =A ．2B ．1+iC ．-1+iD ．1-i3．改革开放40年来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．有研究所统计了近些年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是A ．2012年——2018年空气净化器的销售量逐年在增加B ．2016年销售量的同比增长率最低C ．与2017年相比，2018年空气净化器的销售量几乎没有增长D ．有连续三年的销售增长率超过30% 4．下列函数是奇函数且在R 上是增函数的是A ．()sin f x x x =B ．2()f x x x =+C ．()e x f x x =D ．()e e x x f x -=-100 200 300 400 500 600 700800900 0% 10%20%30%40%50% 60% 70%80%100%90% 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年♦♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ 空气净化器销售量（万台）同比增长率（%）5．“0<x <1”是“sin x 2<sin x ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为32，A 、B 分别为E 的左顶点和上顶点，若AB 的中点的纵坐标为12，则E 的方程为A ．2214x y +=B ． 22132x y+= C ．22143x y += D ．2213x y += 7．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为A ．83+4πB ．83+8πC ．8+4πD ．8+8π8．将函数()sin 23cos 2f x x x =+的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点(8π，1)，则ϕ的最小值为 A ．512π B ．712πC ．524πD ．724π9．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45º，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为 A ．2B ．22C ．4D ．4211．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (0，2)，|OB |2+|OA |2=20，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r，则|PO |的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．412．已知函数2()2ln f x x x m x =--(m ∈R )存在两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，1()()e 2x g x x =-，则12()g x x -的最小值为A ．21e -B ．1e -C ．21eD ．1e俯视图主视图左视图 4 2 2 2二、填空题：本大题共4小题 每小题5分，共20分。

13．已知函数2log 1()(3)1x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，，，，则(2)f -=________．14．已知向量a ，b 的夹角为45º，若a =(1，1)，|b |=2，则|2a +b |=________．15．设x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≥-⎩，，且z =x +ay 的最大值为7，则a =________．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a cos C -c cos A =35b ，则tan(A -C )的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：（共60分） 17．（本小题满分12分）设等比数列{a n }的公比为q ，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 1+2，2a 2，a 3+1成等差数列，且S 3=4a 2-1，q >1．（1）求{a n }的通项公式； （2）记数列{nna }的前n 项和为T n ，若4-T n =(n +2)S n 成立，求n ． 18．（本小题满分12分）第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组[1525)，，第2组[2535)，，第3组[3545)，，第4组[4555)，，第5组[5565)，，得到的频率分布直方图如上图所示．（1）求a ；（2）现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关？附：P (K 2≥k 0)0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.828a 8年龄(岁)91117频率 组距 0.0100.0150.03015 25 35 45 55 6522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n =a +b +c +d ． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ADE -BCF 中，侧面ABCD 是为菱形， E 在平面ABCD 内的射影O 恰为线段BD 的中点．（1）求证：AC ⊥CF ；（2）若∠BAD =60º，AE =AB =2，求四面体B -CEF 的体积．20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆M 经过定点F (0，1)且与直线y +1=0相切，记动圆M 的圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，OM 、ON 的斜率分别为k OM ，k ON ，且满足k OM ·k ON =12-，△OMN 的面积为8，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)2ln f x a x x =-+(a ∈R )在定义域上满足()f x ≤0恒成立． （1）求实数a 的值； （2）令()()f x axg x x x a+=⋅-在()a +∞，上的最小值为m ，求证：11()10f m -<<-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，P (2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，点Q (ρ，θ)(0≤θ≤π)为C 上的动点，M 为PQ 的中点．（1）请求出M 点轨迹C 1的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为A (1，π)，若直线l 经过点A 且与曲线C 1交于点E ，F ，弦EF 的中点为D ，求ADAE AF⋅的取值范围．23． [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a >0，b >0．（1）若关于x 的不等式|x +3|-|x -1|≤a 2-3a 对任意实数x 都成立，求实数a 的最小值；（2）求证：a bb a+≥a b +． ABCDEFO。