矩阵n 次方的几种求法1.利用定义法()(),,ij kj s nn mA aB b ⨯⨯==则(),ij s mC c ⨯=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++1nik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为，则由定义可以看出矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1同。

例1:已知矩阵34125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，445130621034510200B ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求解：设C AB ==()34ij c ⨯，其中1,2,3i =；1,2,3,4j = 由矩阵乘积的定义知：111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯= 131321553030c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305c =⨯+⨯+⨯+⨯= 21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 22110224129c =-⨯+⨯+⨯+⨯=23130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯= 320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯= 330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯=34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=将这些值代入矩阵C 中得：C AB ==34323130519721522163⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ 则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。

2.利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。

即设()(),,ij kj s n n m A a B b ⨯⨯==把A ，B 分解成一些小矩阵：1111l t tl A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭K M OM L ，1111r l lr B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭K M OM L ，其中ij A 是i j s n ⨯小矩阵且1,2...i t =，1,2...j l =，且12...t s s s s +++= ，12...l n n n n +++=；ij B 是j k n m ⨯小矩阵且1,2...j l =，1,2...k r =；且12...l n n n n +++=，12...r m m m m +++=；令C AB ==1111r t tr C C C C ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭K M OM L ，其中ij C 是i j s m ⨯小矩阵且1,2...i t =，1,2,...,j r =，且12...t s s s s +++=，12...r m m m m +++=；其中1122...ij i j i j il lj C A B A B A B =+++。

这里我们应注意：矩阵A 列的分法必须与矩阵B 行的分法一[]1致。

例2：已知矩阵4510025010130012800006A ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，521245104206B ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求AB 解：将45451002510025010130101300128001280000600006A ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11122122EA A A ⎛⎫⎪⎝⎭写成 12124545101042420606B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1121B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭写成，其中11100010001E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12251328A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()2206A =，11124510B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，214206B ⎛⎫= ⎪⎝⎭由矩阵乘积法则知：1112212111222142B A B A B A B ⨯+⎛⎫⎪+⎝⎭ 由矩阵加法和乘积法则[]1知：42936825AB 952036⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则矩阵A 的n 次方的求解也可利用以上方法来求解。

3．利用数学归纳法求解这种方法与矩阵定[]1义和数学归纳[]3法相结合，从而找出规律再求解，但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵n 次方的运[]2算。

例3：已知cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭，求nA 解：当2n =时2cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 当3n =时32cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2cos sin 2sin θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos3sin 3sin 3cos3θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭所以假设n A =cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭当1k =时成立，假设当1k n =-时成立；则当k n =时1cos sin cos sin sin cos sin cos n n A θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n θθθθθθθθ---⎛⎫-⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 由矩阵乘法定及三角函数知：nA =cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭则假设成立。

所以n A =cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭4．利用分拆法求解这类方法主要是将一个矩阵分解成一个单位矩阵和另外一个矩阵之和再求[]1解，且另外这个矩阵的n 次方计算起来比较简[]2单。

例4：已知110011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求nA 解：A EB =+，其中010001000B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵E 为单位阵且2E E=EB BE B==；故n A =()122+C C C nn n n n n E B E B B B +=+++L由2010010001001001000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 23010010001010001001000001000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭000000000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3n ≥时，n B =0。

故122n nn A E C B C B =++ 由矩阵加法运算法则[]1知：n A =211011001n n C n ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭5．利用相似矩阵求解（利用对角矩阵来求）定义：设矩阵A ，B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆阵X ，使得矩阵1B X AX -=，就说A 与B 相[]1似。

如果矩阵A 或B 有一个可以化成对角矩阵则计算比较简便。

而判断矩阵A 可对角化的条件[]1有： 1)矩阵A 可对角化的必要条件是矩阵A 有n 个不同的特征值2)矩阵A 可对角化的充要条件是矩阵A 有个n 线性无关的特征向量3)在复数域上矩阵A 没有重根而求矩阵A 的特征值和特征向量的方法[]1有：1)求矩阵A 特征多项式E A λ-在数域P 中的全部根，这些根是矩阵A 的全部特征值。

把这些所求的特征值逐个的代入方程组()0E A X λ-=中，对于每一个特征值，解方程组()0E A X λ-=，求出一组基础解系，那么这个基础解系就是属于这个特征值的特征向量。

再利用判别法判断矩阵A 是否可对角化。

例5：已知矩阵33122212221A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,求nA 解：易知矩阵的A 特征多项式E A λ-=122212221λλλ------由行列式计算方法知：E A λ-=()()()()()213113λλλλλ--=-+-所以矩阵A 的特征值为1,1,3-。

当特征值为1时，解方程()0E A X -=，由齐次线性方程组的计算方法知：()0E A X -=的基础解系为1a =()111'-；所以矩阵A 属于特征值1的全部特征向量为()1111k '-,其中1k ≠0。

当特征值为1-时，解方程()0E A X --=，由齐次线性方程组的计算方法知：()0E A X --=的基础解系为2a =()110'-；所以矩阵A 属于特征值1-的全部特征向量为()2110k '-，其中2k ≠0。

当特征值为3时，解方程()30E A X -=，由齐次线性方程组的计算方法知：()30E A X -=的基础解系为3a =()011'-，所以矩阵A 属于特征值3的全部特征向量为()3011k '-，其中3k ≠0。

则由矩阵A 可对角化的条件知：矩阵A 可对角化且对角阵为B =100010003⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭令123C a a a →→→'⎛⎫= ⎪⎝⎭=33110111101⨯⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，由求逆矩阵的方法知：1111011110C -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭因为线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的知：1C AC B -= 所以()11nn n C AC C A C B --==，则()333310010001001000303nnnn B ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由1n n A CB C -=,由矩阵的乘法运算法则知：()()()()3311111311311113131nnn n nn nn n A ⨯⎛⎫---- ⎪ ⎪=--+--- ⎪-- ⎪⎝⎭2)对方阵A ，设()()1F E A λλ'=-，对()()1n F E λ做初等变换，化成()()()D P λλ其中()D λ为上三角阵，则矩阵()D λ主对角线上元素乘积的λ的多项式的根即为A 的特征根i λ。