第二章习题详解1． 利用导数定义推出： 1)()1-=n n nzz '（n 为正整数）解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z nn n n n z n n z n∆∆∆∆∆∆∆∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=-+=--→→ 22100121limlim '()()11210121----→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=n n n n z nz z z z n n nz ∆∆∆ lim 2) 211z z -=⎪⎭⎫⎝⎛'解： ()()2000111111z zz z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→∆∆∆∆∆∆∆∆∆lim lim lim '2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1)()iy x z f -=2解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -=x x u 2=∂∂，0=∂∂y u ，0=∂∂xv，1-=∂∂y v 都是连续函数。

只有12-=x ，即21-=x 时才满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2在直线21-=x 上可导，在复平面内处处不解析。

2)()3332y i x z f +=解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v =26x x u =∂∂，0=∂∂y u ，0=∂∂xv ，29y y v =∂∂都是连续函数。

只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。

()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。

3)()y ix xy z f 22+=解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2=2y x u =∂∂，xy y u 2=∂∂，xy xv 2=∂∂，2x y v =∂∂都是连续函数。

只有22x y =且xy xy 22-=，即0==y x 时才满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2在点()00,处可导，在复平面内处处不解析。

4)()xshy i xchy z f cos sin +=解：设()iv u z f +=，则xchy u sin =，xshy v cos =xchy x u cos =∂∂，xshy y u sin =∂∂，xshy xvsin -=∂∂，xchy y v cos =∂∂都是连续函数。

完全满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。

3． 指出下列函数()z f 的解析性区域，并求出其导数。

1)()51-z解：()()415-=z z f'，()z f 在复平面内处处解析。

2) z i z 23+ 解：()i z z f232+='，()z f 在复平面内处处解析。

3)112-z 解：()()2212--=zzz f'，1±≠z ，()z f 在复平面内除点1±≠z 外处处解析。

4)dcz baz ++（c ，d 中至少有一个不为0）解：()()()22d cz bcad d cz b az c d cz a z f+-=++-+='当0≠c ，则当c d z -≠时，()()2d cz bc ad z f +-='，()z f 在复平面内除点c d z -≠外处处解析。

当0=c 时，则0≠d ，()daz f ='，()z f 在复平面内处处解析。

4． 求下列函数的奇点：1)()112++z z z 解：令()012=+z z ，解得0=z ，i z ±=。

故()()112++=z z z z f 有0、i 、i -三个奇点。

2)()()11222++-z z z 解：令()()01122=++z z ，解得1-=z ，i z ±=。

故()()()11222++-=z z z z f 有1-、i 、i -三个奇点。

5． 复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有哪些方法？解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。

判断函数的解析性有两种法。

一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在其定义域D 内解析⇔()y x u ,和()y x v ,在D 内点iy x z +=可微，并且满足柯西—黎曼方程。

6． 判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。

1) 如果()z f 在0z 连续，那末()0z f '存在；解：假命题。

例如，()yi x z f 2+=在复平面内任意一点0z 都连续，但不满足柯西—黎曼方程，故()z f '不存在。

2) 如果()z f'存在，那末()z f 在0z 解析；解：假命题。

例如，()y ix xy z f 22+=，()z f 在点00=z 可导，但()yi x z f 2+=在0z 点不解析。

3) 如果0z 是()z f 的奇点，那末()z f 在0z 不可导；解：假命题。

例如，()i y x z f 33+=在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但()z f 在0=±y x 上的点均可导。

4) 如果0z 是()z f 和()z g 的一个奇点，那末0z 也是()()z g z f +和()()z g z f 的奇点；解：假命题。

例如，()z z f =与()z z g -=在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点0z 都是()z f 与()z g 的奇点。

但()()()0=-+=+z z z g z f 在复平面内处处解析，即()()z g z f +在复平面内没有奇点。

5) 如果()y x u ,和()y x v ,可导（指偏导数存在），那末()iv u z f +=亦可导；解：假命题。

例如，设()yi x z f 2+=，则()x y x u =,，()y z v 2=均可导，但不满足柯西—黎曼方程，因此()z f 不可导。

6) 设()iv u z f +=在区域D 内是解析的。

如果u 是实常数，那末()z f 在整个D 内是常数；如果v 是实常数，那末()z f 在D 内也是常数。

解：真命题。

下面证明：因为()iv u z f +=在区域D 内解析，即满足柯西—黎曼方程：y v x u ∂∂=∂∂，x v yu ∂∂-=∂∂如果u 是实常数，则0=∂∂=∂∂yvx u ，0=∂∂-=∂∂x v y u ，即v 为实常数，故()z f 在D 内为常数。

如果v 是实常数，则0=∂∂=∂∂yvx u ，0=∂∂-=∂∂x v y u ，即u 为实常数，故()z f 在D 内为常数。

7． 如果()iv u z f +=是z 的解析函数，证明：()()()222z f z f y z f x '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂。

证明：()iv u z f += ()22v u z f +=∴()22222221222⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂x v v xuuv u v u x v v x uu z f x ()22222221222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y v v y u u v u v u y v v y uu z f y ()iv u z f += 在点z 处解析，y v x u ∂∂=∂∂∴，xvy u ∂∂-=∂∂ ()()2222222211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y v v y u u v u x v v x u u v u z f y z f x⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=2222222211x u v x v u x v v x u u v u y v v y u u x v v x u u v u ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=2222222222221x u v x v x u uv x v u x v v x v x u uv x u u v u 2222222222221⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=x v x u x u v x v u x v v x u u v u()x v i x u z f ∂∂+∂∂=' ()222⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∴x v x u z f ' ⇒()()()222z f z f y z f x '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂8． 设()2323lxyx i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值。

解：设()y nx my y x u 23+=,，()23lxy x y x v +=,，则nxy x u 2=∂∂，223nx my y u +=∂∂，223ly x x v +=∂∂，lxy y v 2=∂∂ yvx u ∂∂=∂∂lxy nxy 22=∴ ⇒ l n = xv y u ∂∂-=∂∂()222233ly x nx my +-=+∴ ⇒ ⎩⎨⎧-=-=lm n 333-==∴l n ，1=m ，()2323lxy x i y nx my +++为解析函数9． 证明柯西—黎曼方程的极坐标形式是：ϑ∂∂=∂∂v r r u 1，ϑ∂∂=∂∂vr r u 1 证明：直角坐标与极坐标的转换公式为⎩⎨⎧==ϑϑsin cos r y r x ，于是由复合函数求导得：ϑϑsin cos y u x u r y y u r x x u r u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂()()ϑθϑϑϑcos sin r y u r x uy y u x x u u ∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ϑϑsin cos y v x v r y y v r x x v r v ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂()ϑϑϑϑϑcos sin r y v r x vy y v x x v v ∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ y v x u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂ϑϑϑϑsin cos sin cos xu y u y v x v r v ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+-∂∂=∂∂ϑϑϑϑϑcos sin cos sin x uy u r r y v r x v v ()()ϑϑϑ∂∂=-∂∂+∂∂=∂∂-u r xu r yu rv r sin cos ru x u y u v r ∂∂=∂∂+∂∂=∂∂ϑϑϑcos sin 1即：ϑ∂∂=∂∂v r r u 1，ϑ∂∂=∂∂vr r u 110． 证明：如果函数()iv u z f +=在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那末()z f 是常数。