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人教备战中考数学备考之一元二次方程压轴突破训练∶培优篇及详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=,是否存在这样的n 值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,请求出这样的n 值;若不存在,请说明理由?【答案】存在,n=0.【解析】【分析】在方程①中,由一元二次方程的根与系数的关系,用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方,把方程②分解因式,建立方程求n ,要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1,x2是方程①的两个根,则x 1+x 2=2n ,x 1x 2=324n +-,所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2, 由方程②得,(x+n-1)[x-2(n+1)]=0, ①若4n 2+3n+2=-n+1,解得n=-12,但1-n=32不是整数,舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2),解得n=0或n=-14(舍), 综上所述,n=0.2.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦,某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台设备的实际耗油量为36kg ,为了倡导低碳,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关.(1)甲车间通过技术革新后,加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ,用油的重复利用率仍然为60%,问甲车间技术革新后,加工一台设备的实际油耗量是多少千克?(2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑油用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新前的基础上,润滑用油量每减少1kg ,用油的重复利用率将增加1.6%,例如润滑用油量为89kg 时,用油的重复利用率为61.6%.①润滑用油量为80kg ,用油量的重复利用率为多少?②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ,问加工一台设备的润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少?【答案】(1)28(2)①76%②75,84%【解析】试题分析:(1)直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ,用油的重复利用率仍然为60%,进而得出答案;(2)①利用润滑用油量每减少1kg ,用油的重复利用率将增加1.6%,进而求出答案; ②首先表示出用油的重复利用率,进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ,得出等式求出答案.试题解析:(1)根据题意可得:70×(1﹣60%)=28(kg);(2)①60%+1.6%(90﹣80)=76%;②设润滑用油量是x千克,则x{1﹣[60%+1.6%(90﹣x)]}=12,整理得:x2﹣65x﹣750=0,(x﹣75)(x+10)=0,解得:x1=75,x2=﹣10(舍去),60%+1.6%(90﹣x)=84%,答:设备的润滑用油量是75千克,用油的重复利用率是84%.考点:一元二次方程的应用3.“父母恩深重,恩怜无歇时”,每年5月的第二个星期日即为母亲节,节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价,可在原标价的基础上打八折购进,若在花店购买80个礼盒最多花费7680元,请求出每个礼盒在花店的最高标价;(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒,但实际购买过程中,“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%,购买数量和原计划一样:“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元,购买数量在原计划基础上增加15m%,最终,在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%,求出m的值.【答案】(1)120;(2)20.【解析】试题分析:(1)本题介绍两种解法:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,解出即可;解法二:根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费,再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价;(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额:120a(1﹣25%)(1+52m%),在“美团”网上的购买实际消费总额:a[120(1﹣25%)﹣920m](1+15m%);根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可.试题解析:(1)解:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,x≤120;解法二:7680÷80÷0.8=96÷0.8=120(元).答:每个礼盒在花店的最高标价是120元;(2)解:假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,由题意得:120×0.8a(1﹣25%)(1+52m%)+a[120×0.8(1﹣25%)﹣920m](1+15m%)=120×0.8a(1﹣25%)×2(1+ 152m%),即72a(1+52m%)+a(72﹣920m)(1+15m%)=144a(1+ 152m%),整理得:0.0675m2﹣1.35m=0,m2﹣20m=0,解得:m1=0(舍),m2=20.答:m的值是20.点睛:本题是一元二次方程的应用,第二问有难度,正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键.4.已知:关于的方程有两个不相等实数根.(1)用含的式子表示方程的两实数根;(2)设方程的两实数根分别是,(其中),且,求的值.【答案】(I)kx2+(2k-3)x+k-3 = 0是关于x的一元二次方程.∴由求根公式,得.∴或(II),∴.而,∴,.由题意,有∴即(﹡)解之,得经检验是方程(﹡)的根,但,∴【解析】(1)计算△=(2k-3)2-4k(k-3)=9>0,再利用求根公式即可求出方程的两根即可;(2)有(1)可知方程的两根,再有条件x1>x2,可知道x1和x2的数值,代入计算即可.一位数学老师参加本市自来水价格听证会后,编写了一道应用题,题目如下:节约用水、保护水资源,是科学发展观的重要体现.依据这种理念,本市制定了一套节约用水的管理措施,其中规定每月用水量超过(吨)时,超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费(元)与每月用水量(吨)之间的函数关系.请你解答下列问题:5.将m 看作已知量,分别写出当0<x<m 和x>m 时,与之间的函数关系式;6.解下列方程:(1)2x 2-4x -1=0(配方法);(2)(x +1)2=6x +6.【答案】(1)x 1=16x 2=161=-1,x 2=5. 【解析】试题分析:(1)根据配方法解一元二次方程的方法,先移项,再加减一次项系数一半的平方,完成配方,再根据直接开平方法解方程即可;(2)根据因式分解法,先移项,再提公因式即可把方程化为ab=0的形式,然后求解即可. 试题解析:(1)由题可得,x 2-2x =12,∴x 2-2x +1=32. ∴(x -1)2=32. ∴x -1=32±62. ∴x 1=16x 2=16 (2)由题可得,(x +1)2-6(x +1)=0,∴(x +1)(x +1-6)=0.∴x +1=0或x +1-6=0.∴x 1=-1,x 2=5.7.已知关于x 的一元二次方程()2204m mx m x -++=. (1)当m 取什么值时,方程有两个不相等的实数根; (2)当4m =时,求方程的解.【答案】(1)当1m >-且0m ≠时,方程有两个不相等的实数根;(2)135x +=,2354x =. 【解析】【分析】(1)方程有两个不相等的实数根,>0∆,代入求m 取值范围即可,注意二次项系数≠0;(2)将4m =代入原方程,求解即可.【详解】(1)由题意得:24b ac ∆=- =()22404m m m +->,解得1m >-. 因为0m ≠,即当1m >-且0m ≠时,方程有两个不相等的实数根.(2)把4m =带入得24610x x -+=,解得1x =,2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解,熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.8.淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动.甲网店销售的A 商品的成本为30元/件,网上标价为80元/件.(1)“双十一”购物活动当天,甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客,问该店平均每次降价率为多少时,才能使A 商品的售价为39.2元/件?(2)据媒体爆料,有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动,存在欺诈行为.“双十一”活动之前,乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致,一周可售出1000件A 商品.在“双十一”购物活动当天,乙网店先将A 商品的网上标价提高a %,再推出五折促销活动,吸引了大量顾客,乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A 商品数量相比原来一周增加了2a %,“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元,求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价.【答案】(1)平均每次降价率为30%,才能使这件A 商品的售价为39.2元;(2)乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元.【解析】【分析】(1)设平均每次降价率为x ,才能使这件A 商品的售价为39.2元,根据原标价及经过两次降价后的价格,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论; (2)根据总利润=每件的利润×销售数量,即可得出关于a 的一元二次方程,解之取其正值即可得出a 的值,再将其代入80(1+a %)中即可求出结论.【详解】(1)设平均每次降价率为x ,才能使这件A 商品的售价为39.2元,根据题意得:80(1﹣x )2=39.2,解得:x 1=0.3=30%,x 2=1.7(不合题意,舍去).答:平均每次降价率为30%,才能使这件A 商品的售价为39.2元.(2)根据题意得:[0.5×80(1+a %)﹣30]×1000(1+2a %)=30000,整理得:a 2+75a ﹣2500=0,解得:a 1=25,a 2=﹣100(不合题意,舍去),∴80(1+a %)=80×(1+25%)=100.答:乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.9.阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=,求m 、n 的值.解: 22228160m mn n n -+-+=,222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=,0,40m n n ∴-=-=,4,4n m ∴==.根据你的观察,探究下面的问题:(1)己知2222210x xy y y ++++=,求x y -的值.(2)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足2268250a b a b +--+=,求边c 的最大值.(3) 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=,求a b c -+的值.【答案】(1)2(2)6(3)7【解析】【分析】(1)将多项式第三项分项后,结合并利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x 与y 的值,即可求出x ﹣y 的值;(2)将已知等式25分为9+16,重新结合后,利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a 与b 的值,根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长;(3)由a ﹣b =4,得到a =b +4,代入已知的等式中重新结合后,利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出b 与c 的值,进而求出a 的值,即可求出a ﹣b +c 的值.【详解】(1)∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴(x 2+2xy +y 2)+(y 2+2y +1)=0∴(x +y )2+(y +1)2=0∴x +y =0 y +1=0解得:x =1,y =﹣1∴x ﹣y =2;(2)∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0∴(a 2﹣6a +9)+(b 2﹣8b +16)=0∴(a ﹣3)2+(b ﹣4)2=0∴a﹣3=0,b﹣4=0解得:a=3,b=4∵三角形两边之和>第三边∴c<a+b,c<3+4,∴c<7.又∵c是正整数,∴△ABC的最大边c的值为4,5,6,∴c 的最大值为6;(3)∵a﹣b=4,即a=b+4,代入得:(b+4)b+c2﹣6c+13=0,整理得:(b2+4b+4)+(c2﹣6c+9)=(b+2)2+(c﹣3)2=0,∴b+2=0,且c﹣3=0,即b=﹣2,c=3,a=2,则a﹣b+c=2﹣(﹣2)+3=7.故答案为7.【点睛】本题考查了因式分解的应用,以及非负数的性质,熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.10.今年以来猪肉价格不断走高,引起了民众与区政府的高度关注,当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时,政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.据统计:从今年年初至 11月 10 日,猪排骨价格不断走高,11 月 10 日比年初价格上涨了 75%.今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元.(1)A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍,按 11 月 10 日价格出售,平均一天能销售出 100 千克,超市统计发现:若排骨的售价每千克下降 1 元,其日销售量就增加20千克,超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润,为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元?(2)11 月 11 日,区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调a%出售,A 超市按规定价出售一批储备排骨,该超市在非储备排骨的价格不变情况下,该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了a%,且储备排骨的销量占总销量的57,两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a%,求a 的值.【答案】(1)售价为每千克65元;(2)a=35.【解析】【分析】(1)先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价,设每千克降价x元,则每千克的利润为10-x元,日销量为100+20x 千克,根据销量×单利润=总利润列出方程求解,并根据为了尽可能让顾客优惠,对所得的解筛选;(2)根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量,即可得出关于a的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【详解】解:(1)11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为:350÷5÷175%=40元/千克,11月的进货价为: 340602元/千克设每千克降价x 元,则每千克的利润为70-60-x=10-x 元,日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ,解得10x =,25x =因为为了尽可能让顾客优惠,所以降价5元,则售价为每千克65元. (2)根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去)所以a =35.【点睛】 本题考查一元二次方程的应用,(1)中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键;(2)中在求解时有些难度,可先设令%a t =,解方程求出t 后再求a 的值.。

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