误差分析

第一章 绪论与误差分析
§1 计算数学研究的对象和内容 §2 误差的来源和分类 §3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
2021/3/
第一章 绪论与
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本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识
2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则
出的新问题需要设计新的高性能算法。
各应用领域对科学计算的需求越来越多，要求越来越
高，计算机也在不断发展、更新换代，这些都要求不断地
发展计算方法。
计算方法是科学和工程计算的核心，构造好的计算方
法与研制高性能计算机及高效率软件同等重要，计算的功
效是2计02算1机/工3/具的能力第与一计章算方绪法论的与效率之乘积。
直接计算需要6次乘法，3次加法。如果作如下改变：
p3( x) a3 x3 a2 x2 a1x a0 ((a3 x a2 ) x a1) x a0
2只0有231次/乘3/法，3次第加法一。章这绪个论算与法称作：秦九绍算法。
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对于给定的数学问题，常常可以提出各种各样的数值
计算方法。如何评价这些算法的优劣呢？一般来说，一个
研究科学计算中各种数学问题数值计算方法的基础。科
学计算的兴起是二十世纪后半叶最重要的科技进步之一，
是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用
的新型交叉学科，是数学及计算机实现其在高科技领域
应用的必不可少的纽带和工具。
许多重大的科学技术问题根本无法求得理论解，也
难以应用实验手段解决，但却可以借助于计算机进行计
好的方法应具有如下的特点：
(1).结构简单，易于计算机实现；
(2).有可靠的理论分析，理论上可保证方法的收敛性
和数值稳定性；
(3).计算效率高，时间效率高是指计算速度快，节省
时间，空间效率高是指节省存储量；
(4).经过数值试验检验，即一个算法除了理论上要满
足上述三点外，还要通过数值实验来证明是行之有效的。
计算问题的需要。计算数学的发展离不开计算机，计算方
法的改进将能使计算机的作用得到充分的发展，而计算数
学提出的要求也将对计算机的发展与更新换代提供新的推
动力。科学和工程计算的能力与发展水平是一个国家综合国
力的重要标志。世界发达国家都极其重视这一研究领域，
并以大量资金投入加以支持。美国在此领域长期处于领先
算。科学计算与理论研究、科学实验并列，已成为当今
世2界0科21学/活3/动的第三第种一手章段。绪论与
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计算克服了理论分析及实验手段的局限，这是自伽利 略、牛顿以来科学方法论的最伟大的进步，推动着科学实 践中一场深刻的不可逆转的变革。
在科学和工程的许多领域有了计算才能获得重大的研 究成果和完成高度复杂的工程设计。科学计算的方法和理 论作为新的研究手段以及新的设计和制造技术的理论基础， 正在并将继续推动当代科学和高新技术的发展。
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计算数学一方面是数学，其研究手段包括数学推导、
分析、论证和计算，其成果将促进学科自身的发展。但另
一方面，计算数学又有广泛的应用背景，其研究对象往往
涉及许多其它学科，其研究成果则可以应用于实际计算并
通常带有数值实验的结果。
推动纯粹数学发展的动力主要来自自身提出的问题，
而计算数学发展的主要动力则来自于解决科学和工程中的
地位2，02目1前/3有/每秒万亿第次一的章计算绪机论用与于科学计算。
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二、计算数学研究的对象和任务
根据数学模型提出的问题，建立求解问题的数值计算 方法并进行方法的理论分析，再编制出算法程序上机计算 并对计算结果进行分析，这一过程就是计算数学研究的对 象和任务。因此，计算数学就是研究用计算机解决数学问 题的数值计算方法及其理论。
在学习数值分析时，我们要注意掌握数值方法的基本原
理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，
要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。此外，还
要通2过02应1用/数3/值方法编第程一计章算具绪体论例与子，以提高使用各种
数值8方法解决实际问题的误能差力分。 析
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三、数值分析的学习内容
1 . 数值逼近 (1). 代数插值：Lagrange、Newton、Spline插值 (2). 最佳逼近： 最佳一致逼近、最佳平方逼近(最小二乘法) (3). 数值微积分：等距节点求积公式、Gauss型求积公式
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今天计算在科学和工程研究中几乎已无所不在，计算
数学正是这许多交叉学科的纽带和共同基础。不同的学科、
不同的工程应用会提出不同的实际问题，但他们往往又是
归结为若干类典型的数学问题。 不同的计算方法可能是用于解决不同类型的科学问题。
一方面要寻找更加有效更能发挥计算机功能的新型算法解
决老问题，另一方面，针对科学研究的和工程技术不断提
当前科学计算正在向大规模和高性能发展，要达到
“全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真”的数值模拟，
发展高效的计算方法与发展高性能的计算机同等重要。
数十年来在自然科学和工程科学中，先后产生了计算
物理、计算力学、计算化学、计算生物、计算经济学等一
系列20计2算1/性3的/分支学第科。一章 绪论与
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3.分析方法的效率。分析比较求解同一问题的各种方 法的计算速度和存储量，以便使用者根据各自的情况采用 高效率的方法，节省人力、物力和时间，这样的分析是数 值分析的一个重要部分。应当指出，数值方法的构造和分 析是密切相关不可分割的。
例如：计算3次多项式 的函数值
p3 ( x) a3 x3 a2 x2 a1 x a0
计算数学是数学学科的一个分支，但它不象纯数学那 样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合， 着重研究面向计算机的，能够解决实际问题的数值方法及 其理论,具体地说，数值分析研究的内容包括：
1.构造可在计算机上求解数学问题的数值计算方法
2.分析方法的可靠性，即按此方法计算得到的解是否
可靠2，02与1精/确3/解之差是第否一很章小，绪以论确与保计算解的有效性。
3.难 点：有效数字
4.内容分配：
第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容
§2 误差的来源和分类
第 2 次：§3 误差的表示
§4 误差的传播
2021/3/ §5第算一法章设绪计论的若与干原则
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§1 计算数学研究的对象和内容
一、计算数学的产生与发展
数值分析是科学计算研究领域的一门专业基础课，是