厦大附中高一数学培优专题（一）（2010-3-6/13）知识要点梳理本节公式中，,2a b cs ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π，2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b <c ，b －c < a ，c －a < b ．3．边与角关系：正弦定理； R C cB b A a 2sin sin sin ===余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b aB A =sin sin ，bca cb A 2cos 222-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ．4）面积公式：11sin 224a abcS ah ab C rs R ∆=====（二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而222CB A +-=π．有：2cos 2sinC B A +=，2sin 2cosCB A +=．2.常用的恒等式：（1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2A cos 2B cos 2C ；（2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2A sin 2B sin 2C ；（3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2A sin 2B cos 2C ；（4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2A cos 2B sin 2C ．3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有：a 2＋b 2＞c 2⇔ 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ⇔ 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ⇔ 三角形ABC 是直角三角形(三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。

其中“边边角”（abA ）类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：(四)积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=(五)和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+；2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-； 2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-（一）课前练习（1）ABC ∆中，A 、B的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定（2）在△ABC 中，A=60°,b=1,面积为3， 则C B A cb a sin sin sin ++++= .（3）在ABC ∆中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____(4)在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____（5）在ABC ∆中，若其面积222a b c S +-=， 则C ∠=30答案：（1）C ；（2）338（3）12-（4）60（5）30；（6）在ABC ∆中，60 1A ,b ==，这个三角形的面积为，则ABC ∆外接圆的直径是_______（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，21,cos 32B C a A +==则= ，22b c+的最大值为（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值围是（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=，且,,AOB BOC COA ∆∆∆的面积满足关系式AOB BOC COA S S ∆∆∆+=，求A ∠．答案：（6）3；（7）1932;；（8）06C π<≤；（9）45；例题精讲：例1. 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ， B=45︒ 。

求A 、C 及c解法一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒ 当A=60︒时，C=75︒， 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时，C=15︒， 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法二：设c =x 由余弦定理 B ac c a bcos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x ， 解之：226±=x , (1)当226+=c 时 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A从而A=60︒ ，C=75︒(2)当226-=c 时同理可求得：A=120︒ ，C=15︒例 2.已知三角形的一个角为60°，面积为103c ｍ2，周长为20c ｍ，求此三角形的各边长.解析：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，B ＝60°，则依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=︒⋅-+=︒2031060sin 21260cos 222c b a ac ac b c a ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++∴4020222ac ac c a b c b a 由①式得：b 2＝［20－（a ＋c ）］2＝400＋a 2＋c 2＋2ac －40（a ＋c ） ④将②代入④得400＋3ac －40（a ＋c ）＝0再将③代入得a ＋c ＝13由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+588540132211c a c a ac c a 或解得 ∴b 1＝7，b 2＝7所以，此三角形三边长分别为5c ｍ，7c ｍ，8c ｍ。

①②③例3. △ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.已知tan A +tan B +3=tan A ·tan B ·3， (1)求∠C 的大小；(2)若c =27，△ABC的面积S△ABC =233，求a +b 的值.解析；(1)tan C =－tan(A +B )=－B A BA tan tan 1tan tan ⋅-+=－BA B A tan tan 1)1tan (tan 3⋅--⋅⋅=3.∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.(2)由c =27及余弦定理，得a 2+b 2－2ab cos60°=(27)2.又由S △ABC =21ab sin60°=233，整理得⎪⎩⎪⎨⎧==-+.6,44922ab ab b a ∴(a+b)2=4121，即a+b=211.例4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为B C 中点，且AD＝4，求B C边长。

解析：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝2x，在△ADB中，cos ADB＝,2425)2(42222222xxBDADABBDAD⨯⨯-+=⋅⋅-+在△ADC中，cos ADC＝.2423)2(42222222xxDCADACDCAD⨯⨯-+=⋅⋅-+又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cos ADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cos ADC。

∴2423)2(42425)2(4222222xxxx⨯⨯-+-=⨯⨯-+解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2。

例5. 在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长。

解析：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2， 其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则ααααcos sin 222sin 2sin ⋅+=+=x x x ,x x 22cos +=∴α---① 又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cos α-----②将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)所以此三角形三边长为4，5，6例6.如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC=，43cos =C ．（1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值.解析；（Ⅰ） 由余弦定理，2222..cos AB AC BC AC BC C =+-341221 2.4=+-⨯⨯⨯= 那么， 2.AB =（Ⅱ）解：由3cos 4C =，且0,C π<<得27sin 1cos .4C C =-=由正弦定理，,sin sin AB BCC A=解得sin 14sin 8BC C A AB ==。

所以，52cos 8A =。

由倍角公式57sin 2sin 2cos 16A A A =⋅=，且29cos 212sin 16A A =-=，故()37sin 2sin 2cos cos 2sin 8A C A C A C +=+=例7.在45,5ABC B AC C∆∠=︒==中，,求（1）?BC=(2)若点D AB是的中点，求中线CD的长度。

解析：（1）由cos sin55C C==得sin sin(18045)(cos sin)210A C C C=--=+=由正弦定理知sinsin102ACBC AB=⋅=⋅=（2）sin2sin52ACAB CB=⋅=⋅=112BD AB==由余弦定理知CD===例8.在锐角ABC △中，角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，（1）求22tan sin 22B C A++的值；（2）若2a =，ABC S =△，求b 的值．解析：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin 3A =，所以cosA ＝13，则；22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－ （2）ABC ABC 11S 2S bcsin A bc 223•因为＝，又＝＝， 则bc ＝3。