第11章 结构的稳定计算习题解答习题11.1 是非判断题（1）要提高用能量法计算临界荷载的精确度，不在于提高假设的失稳曲线的近似程度，而在于改进计算工具。
（ ）（2）对称结构承受对称荷载时总是按对称形式失稳。
（ ）（3）刚架的稳定问题总是可以简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。
（ ） （4）结构稳定计算时，叠加原理已不再适用。
（ ）（5）有限自由度体系用能量法求出的临界荷载是精确解。
（ ）（6）当结构处于不稳定平衡状态时，可以在原结构位置维持平衡，也可以在新的形式下维持平衡。
（ ）【解】（1）错误。
能量法计算临界荷载的精确度，直接取决于所假设的失稳曲线的近似程度。
（2）错误。
既可按对称形式失稳也可按反对称形式失稳。
（3）错误。
在能求出刚度系数的情况下，才可简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。
（4）正确。
一般情况下，结构的稳定计算中，既要考虑几何非线性也要考虑材料非线性，因此，不能采用适用于线性弹性理论的叠加原理。
（5）正确。
（6）错误。
习题 12.2 填空题（1）结构由稳定平衡到不稳定平衡，其临界状态的静力特征是平衡形式的 。
（2）临界荷载与压杆的支承情况有关，支承的刚度越大，则临界荷载越 。
（3）用能量法求无限自由度体系的临界荷载时，所假设的失稳曲线y (x )必须满足 条件，并尽量满足 条件。
（4）利用对称性，求习题11.2（4）图所示结构的临界荷载F Pcr ＝ 。
习题11.2（4）图（5）习题11.2（5）图（a ）所示结构可简化为习题11.2（5）图（b ）所示单根压杆计算，则弹簧抗转动刚度系数k ＝ 。
1=l3EI(a) (b)习题11.2（5）图（6）习题11.2（6）图（a ）所示结构可简化为习题11.2（6）图（b ）计算，则抗移动弹簧刚度系数k 1＝ ，抗转动弹簧刚度系数k 2＝ 。
(a)(b)习题11.2（6）图【解】（1）二重性。
（2）大。
（3）位移边界；力的边界。
（4）22l EIπ。
该对称结构的临界荷载，可按反对称失稳形式（即两端简支压杆）确定。
（5）lEI 。
（6）33lEI ；l EI 3。
习题11.3 用静力法计算习题11.3图所示体系的临界荷载。
(a) (b) (c)习题11.3图【解】（1）给出失稳形式，如习题解11.3（a ）图所示。
由∑=0AM得P (3)0F kl y -= ∴Pcr 13F kl =(c)习题解11.3图（2）给出失稳形式，如习题解11.3（b）图所示。
由∑=0AM得P(2)0kl F y-=∴Pcr12F kl=（3）给出失稳形式，如习题解11.3（c）图所示。
先求得支反力：PR124FF k yl⎛⎫=+⎪⎝⎭由∑=0AM得P56kl F y⎛⎫-=⎪⎝⎭∴Pcr56F kl=习题11.4用静力法计算习题11.4图所示体系的临界荷载。
k为弹性铰的抗转动刚度系数（发生单位相对转角所需的力矩）。
习题11.4图【解】给出失稳形式，如习题解11.4图所示。
分析AC，由0CM=∑得P20yk F yl⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭P 20k F y l ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴Pcr 2kF l=习题解11.4图习题11.5 用静力法计算习题11.5图所示体系的临界荷载。
(a) (b)习题11.5图【解】（1）原体系可简化为习题解11.5（a ）图所示。
弹性支承刚度系数为(a)(b)习题解11.5图33623l EIl EI k =⨯=可求得Pcr 2132EI F kl l == （2）原体系可简化为习题解11.3（b ）图所示。
弹性支承刚度系数为4EIk l=可求得Pcr 4k EIF h lh==习题11.6 用能量法重做习题11.3（c ）。
【解】 变形能 21111222522223372U ky y ky y ky =⨯⨯+⨯⨯= 荷载势能P P U F ∆=-，其中2221153()2()232212y y l l y l l l∆=⋅+⋅=总势能P P E U U =+由P d 0d E y =及0y ≠得P 25507212k F l-= ∴Pcr 56F kl =习题11.7 用静力法求习题11.7图所示各结构的稳定方程。
EI /l (抗转动刚度)(1)(2)(3) (4)(5)习题11.7图【解】（1）失稳曲线如习题解11.7（1）图所示。
微分方程为 P P 1()2EIy M F y F x θ''=-=-+或 2212y y x ααθ''+=- 其中 2PF EIα=该微分方程的通解为x x B x A y θαα21sin cos -+= 代入边界条件：0, 0; , 0; , x y x l y x l y θ'======- 所得齐次方程中，由θ,,B A 不全为零的条件（即系数行列式等于零）整理后得tan 0l l αα+=P习题解11.7（1）图（2）失稳曲线如习题解11.7（2）图所示。
微分方程为P ()EIy M F y k θ''=-=--或 22P , F ky y EI EIαθα''+== 通解为Pcos sin ky A x B x F ααθ=++。
代入边界条件：0, 0; 0, ; , 0x y x y x l y θ''====== 由θ,,B A 不全为零的条件，整理后得1tan 04l l αα+=习题解11.7（2）图（3）原结构可等效为习题解11.7（3）（a ）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（3）（b ）图所示。
微分方程为P(a)(b)习题解11.7（3）图P ()EIy M F y k x δ''=-=--或 22P , F k y y x EI EIδαα''+== 通解为 Pcos sin k y A x B x x F δαα=++由边界条件 0, 0; , ; , 0x y x l y x l y δ'====== 得稳定方程为333()1tan ()12l l l EI l l kl ααααα=-=-（4）原结构可等效为习题解11.7（4）（a ）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（4）（b ）图所示。
微分方程为（a）P4EIlk=习题解11.7（4）图PEIy M F y''=-=-22P0,Fy yEIαα''+==该方程的通解为xBxAyααsincos+=由边界条件,; ,x l y x l yδθ'====得稳定方程为4tan=llαα（5）原结构可等效为习题解11.7（5）（a）图所示具有弹性支承的压杆，弹性支承的刚度系数可由子结构ACD求出。
（a ）FEI3l4k= =M(b) 图习题解11.7（5）图分析ACD，如习题解11.7（5）（b）图所示。
在A点加单位力偶并作M图，图乘得柔度系数为EIl34=δ则弹性支承的刚度系数为lEIk431==δ该题的稳定方程为43tan==EIklllαα习题11.8 用能量法计算习题11.8图所示结构的临界荷载，已知弹簧刚度系数33lEI k =，设失稳曲线为(1cos )2xy l πδ=-。
习题11.8图【解】根据所假设的失稳曲线，可求得应变能及荷载势能如下 sin22xy llπδπ'=，22cos 42xy llππδ''=42222330113()d 22264lEI EI U k EI y x l l πδδδ''=+=+⎰222P P P P 01()d 216lF U F F y x lπ∆δ'=-=-=-⎰由P d()0d U U δ+=及0δ≠得Pcr 24.9F EI l=习题11.9 求习题11.9图所示结构的临界荷载。
已知各杆长为l ，EI ＝常数。
习题11.9图【解】（1）对称失稳2Pcr 2EIF l π=对称（2）反对称失稳F (a)(b)M (c) 图习题解11.9图取半结构分析，如习题解11.9（a ）图所示，可等效为习题解11.9（b ）图进行分析。
其中，弹性支承的刚度系数k ，可先由习题解11.9（c ）图所示弯矩图自乘求得柔度系数δ后，取倒数而得，为3221122122323l l l l l EI EI EIδ=⨯⨯+⨯⨯=故31lEIk ==δ在习题解11.9（b ）图中，由∑=0AM得P ()0F kl ∆-= 由此，反对称失稳时的临界荷载为Pcr 2=EI F kl l =反对称 经比较，原结构的临界荷载为Pcr Pcr 2EI F F l ==反对称 习题11.10 试分别按对称失稳和反对称失稳求习题11.10图所示结构的稳定方程。
习题11.10图【解】（1）对称失稳(b)(d)lF (a)(c)EIl 3EIl k=习题解11.10图对称失稳时，可取半结构如习题解11.10（a ）图所示。
将其等效为习题解11.10（b ）图分析，求得稳定方程为22)(1)(1tan l lEIkll l l ααααα+=+=（2）反对称失稳反对称失稳时，可取半结构如习题解11.10（c ）图所示。
将其等效为习题解11.10（d ）图分析，求得稳定方程为3tan ==EIkll l αα 习题11.11 试导出习题11.11图所示桥墩的稳定方程。
设失稳时基础绕D 点转动，地基的抗转刚度系数为k 。
习题11.11图【解】计算简图如习题解11.11（a ）图所示，失稳形式如习题解11.11（b ）图所示。
（a）F （b）P=∞习题解11.11图由0DM=∑即P ()F a k δθθ+=求得P()ka F δθ=-。
微分方程为P EIy M F y ''=-=-22P0, F y y EIαα''+==通解为 x B x A y ααsin cos +=代入边界条件： 0, 0; , ; , x y x l y x l y δθ'====== 求得稳定方程为2tan ()l a kl l l l EI ααα⎛⎫+= ⎪⎝⎭。