2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．（3分）在1-，0，π，3这四个数中，最大的数是( ) A ．1-B ．0C ．πD ．32．（3分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km ，数字2900000000用科学记数法表示为( )A ．82.910⨯B ．92.910⨯C ．82910⨯D ．100.2910⨯3．（3分）若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为( ) A ．5-B ．5C ．1D ．1-4．（3分）函数2y x =的自变量x 的取值范围是( )A ．0xB ．0x ≠C ．0xD ．12x5．（3分）已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k >的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．（3分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是( )A ．平均分B ．方差C ．中位数D ．极差8．（3分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1:3，则圆锥与圆柱的体积的比为( )A．1:1B．1:3C．1:6D．1:99．（3分）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m n+的值为()A．107+或527+B．15C．107+D．1537+10．（3分）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当52y=时，x的值为()A．74或222+B．102或222-C．222±D．74或102二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）点(2,3)P关于y轴的对称点Q的坐标为．12．（3分）分解因式：34a a-=．13．（3分）一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．（3分）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD∠=︒，则COB∠=．15．（3分）两个人做游戏：每个人都从1-，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为 ．16．（3分）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为 ．17．（3分）已知关于x 的一元二次方程：220x x a --=，有下列结论： ①当1a >-时，方程有两个不相等的实根； ②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根； ③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为 ．18．（3分）如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为 ．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：011|5|(1)()3π----+．20．（4分）先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中3x 21．（5分）解方程：24111x x x -=--． 22．（6分）如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ，从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45︒，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75︒，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30︒．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m 2 1.414≈3 1.732)≈．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式23=．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，a b但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若4AB=，且MN ACAD=，2⊥，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数ky x=与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线(AO O 为坐标原点）与函数ky x=的图象交于另一点B ．过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB ∆的面积为6．（1）求反比例函数ky x=的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC ∆的面积．27．（9分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N ．（1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证：2()DN BN BN AC =+； （3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长．28．（9分）如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点(B 在A 的右侧），且经过点(1,7)C -和点(5,7)D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED ∆的面积与CAD ∆的面积之比为1:7，点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB ∆的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n 时，y 的取值范围是1216y ，求m n -的取值范围．（直接写出结果即可）【试题答案】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．C【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得10π-<<<，∴在这四个数中，最大的数是π．2．B【解答】解：2900000000用科学记数法表示为92.910⨯． 3．A【解答】解：2|2|(3)0x y ++-=， 20x ∴+=，30y -=，解得：2x =-，3y =， 故235x y -=--=-． 4．C【解答】解：根据题意可得：20x ， 解得：0x ． 5．B【解答】解：①中10k >，20k >，故120k k >，故①符合题意； ②中10k <，20k >，故120k k <，故②不符合题意； ③中10k >，20k <，故120k k <，故③不符合题意； ④中10k <，20k <，故120k k >，故④符合题意． 6．B【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “1”与“6”是相对面， “5”与“2”是相对面， “3”与“4”是相对面． 7．C【解答】解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变． 8．D【解答】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r ，圆锥的高为h ，则圆柱的高为3h ，所以圆锥与圆柱的体积的比221():(3)1:93r h r h ππ=⨯⨯⨯=．9．A【解答】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意； 当3，4为直角边，5m =；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：228627-=， 故527m n +=+；当6，8为直角边，10n =；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：22437-=， 故107m n +=+． 10． Ａ【解答】解：如图1中，当过A 在正方形内部时，连接EG 交MN 于O ，连接OF ，设AB 交EH 于Q ，AC 交FG 于P ．由题意，ABC ∆是等腰直角三角形，AQ OE OG AP OF ====，1OEF S ∆=， 52y =， 1.5AOEQ AOFP S S ∴+=四边形四边形，2 1.5OA ∴=，34OA ∴=， 37144AM ∴=+=． 如图2中，当点A 在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT ，2ABC BQR AWT S S S S ∆∆∆=--重叠， 112.522221222AN AN ∴=⨯⨯--⨯⨯，解得22AN =， 222AM ∴=+， 综上所述，满足条件的AM 的值为74或222+．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11． (2,3)-【解答】解：点(2,3)P 关于y 轴的对称点Q 的坐标为(2,3)-． 12． (2)(2)a a a +-【解答】解：原式2(4)a a =- (2)(2)a a a =+-．13． 8【解答】解：如图，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点 12DE BC ∴=． 同理可得：12DF AC =，12EF AB =， 11()168()22DE DF EF AB BC AC cm ∴++=++=⨯=．则三条中位线构成的三角形的周长为8cm ． 14． 72︒【解答】解：90COD ∠=︒，90AOB ∠=︒，108AOD ∠=︒， 1089018AOC AOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 901872COB AOB AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．15．59【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5， 所以两人所写整数的绝对值相等的概率59=． 16． 440【解答】解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：313=⨯； 第2个图需要黑色棋子的个数为：824=⨯； 第3个图需要黑色棋子的个数为：1535=⨯； 第4个图需要黑色棋子的个数为：2446=⨯；⋯发现规律：第n 个图需要黑色棋子的个数为：(2)n n +；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20(202)440+=． 17． 3 【解答】解：220x x a --=，∴△44a =+，∴①当1a >-时，△0>，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当0a >时，两根之积0<，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为244112ax a ±+==±+， 1a >-，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 则有2360a --<， 3a ∴>，故④正确．18．233π【解答】解：ABC ∆是等边三角形，AB BC AC ∴==，60ABC BAC BCE ∠=∠=∠=︒，∴在ABD ∆和BCE ∆中，AB AC ABC BCE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD BCE SAS ∴∆≅∆， BAD CBE ∴∠=∠，60AFE BAD FBA CBE FBA ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， 120AFB ∴∠=︒，∴点F 的运动轨迹是以点O 为圆心，OA 为半径的弧，如图，此时120AOB ∠=︒，3cos30AHOA =︒所以弧AB 120323ππ⨯=则点F 23π23π三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】原式第一项绝对值计算，第二项利用零指数幂的法则计算，第三项利用负指数幂的法则计算，计算即可得到结果．【解答】解：011|5|(1)()3π----+513=-+ 7=．20．【分析】根据整式的混合运算顺序先进行整式的化简，再代入值进行计算即可． 【解答】解：原式224544x x x x =+-+-+ 221x =-，当x =215=-=．21．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【解答】解：方程的两边同乘1x -，得：214x x -+=， 解这个方程，得：3x =， 经检验，3x =是原方程的解，∴原方程的解是3x =．22．【分析】在Rt ABM ∆中，根据等腰直角三角形的性质求得AM ，在Rt AME ∆中，根据正弦函数求得AE ，在Rt AEC ∆中，根据正弦函数求得AC ．【解答】解：AB BD ⊥，45BAM ∠=︒，45AMB ∴∠=︒，AMB BAM ∴∠=∠，20AB BM ∴==，∴在Rt ABM ∆中，AM =，作AE MC ⊥于E ，由题意得45ACM ∠=︒，75CAM ∠=︒， 60AMC ∴∠=︒，∴在Rt AME ∆中，AM =，sin AEAME AM∠=，sin 602022AE ∴=︒==在Rt AEC ∆中，90AEC ∠=︒，45ACE ∠=︒，AE =sin AEACE AC∴∠=， 10620335sin 4522AE AC ∴===≈︒（米)， 答：两建筑物顶点A 、C 之间的距离约为35米．23．【分析】（1）根据总体和样本容量的定义即可得问题中的总体和样本容量； （2）根据表格所给数据先求出50.5~75.5的有4人，75.5~100.5的有16人，再根据20a b +=，23a b =，即可求出a ，b 的值；（3）利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人．【解答】解：（1）1000名学生一分钟的跳绳次数是总体， 40名学生的一分钟跳绳次数是样本容量； （2）由题意所给数据可知： 50.5~75.5的有4人， 75.5~100.5的有16人， 4041620a b ∴+=--=， 23a b =，∴解得12a =，8b =，（3）8100020040⨯=（人)， 答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．24．【分析】（1）在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，可得//AD BC ，AO CO =，可以证明AOM CON ∆≅∆可得AM CN =，进而证明四边形ANCM 为平行四边形；（2）根据MN AC ⊥，可得四边形ANCM 为菱形；根据4AD =，2AB =，AM AN NC AD DM ===-，即可在Rt ABN ∆中，根据勾股定理，求DM 的长．【解答】解：（1）证明：在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点， //AD BC ∴，AO CO =，OAM OCN ∴∠=∠，OMA ONC ∠=∠，在AOM ∆和CON ∆中， OAM OCN AMO CNO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOM CON AAS ∴∆≅∆， AM CN ∴=， //AM CN ，∴四边形ANCM 为平行四边形；（2）在矩形ABCD 中，AD BC =， 由（1）知：AM CN =， DM BN ∴=，四边形ANCM 为平行四边形，MN AC ⊥，∴平行四边形ANCM 为菱形，AM AN NC AD DM ∴===-，∴在Rt ABN ∆中，根据勾股定理，得222AN AB BN =+，222(4)2DM DM ∴-=+， 解得32DM =． 25．【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需要x 元，购买一个乙种笔记本需要y 元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m 个甲种笔记本，则购买(35)m -个乙种笔记本，根据总价=单价⨯数量结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为正整数可得出最多购买甲种笔记本的个数，设购买两种笔记本总费用为w 元，根据总价=单价⨯数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购买一个甲种笔记本需要x 元，购买一个乙种笔记本需要y 元， 依题意，得：15202505x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：105x y =⎧⎨=⎩．答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元． （2）设购买m 个甲种笔记本，则购买(35)m -个乙种笔记本，依题意，得：(102)50.8(35)25090%m m -+⨯-⨯， 解得：1214m ，又m 为正整数，m ∴可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w 元，则(102)50.8(35)4140w m m m =-+⨯-=+， 40k =>，w ∴随m 的增大而增大，∴当21m =时，w 取得最大值，最大值421140224=⨯+=．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元． 26．【分析】（1）由题意得，点A 与点B 关于原点对称，即OA OB =，从而得出14AOM ABE S S ∆∆=，进一步求出三角形AOM 的面积，求出k 的值即可；（2）求出一次函数2y x =-+与y 轴的交点N 坐标，根据AOC CON AON S S S ∆∆∆=+ 计算结果即可．【解答】解：（1）由题意得，点A 与点B 关于原点对称，即OA OB =，∴21()4AOM ABE S OA S AB ∆∆==， 又AEB ∆的面积为6，11316||4422AOM ABE S S k ∆∆∴==⨯==，3k ∴=-，3k =（舍去）， ∴反比例函数的关系式为3y x=-； （2）由3k =-可得一次函数2y x =-+，由题意得， 23y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得，1131x y =⎧⎨=-⎩，2213x y =-⎧⎨=⎩， 又A 在第二象限，点C 在第四象限，∴点(1,3)A -，点(3,1)C -，（2）一次函数2y x =-+与y 轴的交点N 的坐标为(0,2)， 12(13)42AOC CON AON S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+=．27．【分析】（1）如图，连接OD，由圆周角定理可得90ADB∠=︒，由等腰三角形的性质可得BD CD=，BAD CAD∠=∠，由三角形中位线定理可得//OD AC，可证OD MN⊥，可得结论；（2）通过证明BDN DAN∆∆∽，可得BN DNDN AN=，可得结论；（3）由等腰三角形的性质可得3BD CD==，由锐角三角函数可求5AC AB==，由勾股定理可求4AD=，由相似三角形的性质可得34BN DN BDDN AN AD===，即可求解．【解答】证明：（1）如图，连接OD，AB是直径，90ADB∴∠=︒，又AB AC=，BD CD∴=，BAD CAD∠=∠，AO BO=，BD CD=，//OD AC∴，DM AC⊥，OD MN ∴⊥，又OD 是半径， MN ∴是O 的切线；（2）AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，90ABC BAD ∠+∠=︒，90ACB CDM ∠+∠=︒， BAD CDM ∴∠=∠， BDN CDM ∠=∠， BAD BDN ∴∠=∠，又N N ∠=∠， BDN DAN ∴∆∆∽，∴BN DNDN AN=， 2()()DN BN AN BN BN AB BN BN AC ∴==+=+； （3）6BC =，BD CD =， 3BD CD ∴==， 3cos 5CDC AC==， 5AC ∴=， 5AB ∴=，4AD ∴==， BDN DAN ∆∆∽，∴34BN DN BD DN AN AD ===， 34BN DN ∴=，34DN AN =， 339()4416BN AN AN ∴==，BN AB AN +=，∴9516AN AN += 807AN ∴=， 36047DN AN ∴==． 28．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中，过点E 作EM AB ⊥于M ，过点D 作DN AB ⊥于N ．利用平行线分线段成比例定理求出点E 的坐标，求出直线BE 的解析式，构建方程组确定点F 的坐标，过点P 作//PQ y 轴交BF 于Q ，设2(,412_)P t t t -++则(,318)Q t t -+，再构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）求出12y =或16时，自变量x 的值，利用图象法确定m ，n 的值即可． 【解答】解：（1）把(1,7)C -，(5,7)D 代入212y ax bx =++， 可得127255127a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得14a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2412y x x =-++．（2）如图1中，过点E 作EM AB ⊥于M ，过点D 作DN AB ⊥于N ．对于抛物线2412y x x =-++，令0y =，得到，24120x x --=，解得2x =-或6， (2,0)A ∴-，(6,0)B ， (5,7)D ，2OA ∴=，7DN =，5ON =，7AN = CED ∆的面积与CAD ∆的面积之比为1:7， :1:7DE AD ∴=， :6:7AE AD ∴=， //EM DN ，67EN AM AE DN AN AD ===，∴6777EM AM ==， 6AM EM ∴==，(4,6)E ∴，∴直线BE 的解析式为318y x =-+，由2318412y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩，解得60x y =⎧⎨=⎩或115x y =⎧⎨=⎩， (1,15)F ∴，过点P 作//PQ y 轴交BF 于Q ，设2(,412)P t t t -++则(,318)Q t t -+，22412(318)76PQ t t t t t ∴=-++--+=-+-， 22157125(76)5()2228PBF S t t t ∆=-+-=--+， 502-<， 72t ∴=时，BFP ∆的面积最大，最大值为1258．（3）对于抛物线2412y x x =-++，当16y =时，241216x x -++=， 解得122x x ==，当12y =时，241212x x -++=，解得0x =或4， 观察图2可知：当02x 或24x 时，1216y ，0m ∴=，2n =或2m =，4n =或0m =，4n =，2m n ∴-=-或4-。