第三章 线性规划问题的 计算机求解
如何求解？
本章将介绍如何使用计算机软件包求解线性规划问题。 解决线性规划问题的软件包分两种，一种是大规模 的软件包，它可以用来解决复杂的包含数千个决策变量 和数千个约束条件的大型的线性规划的问题，重点掌握 国内外常用软件：由芝加哥大学LinusE．Schrage开发 的lindo6.1软件，此软件包可解决32000个变量(3200整 型变量）16000个约束方程的运筹学问题。 另一种是用于微机的软件包，它们有很好的界面， 使用方便，由科研机构和小软件公司为解决包含数百个 决策变量的线性规划问题而开发的。本章介绍的是与本 书配套的名为“管理运筹学”2.0软件包就是属于这种 软件，此软件包可解决100个变量50个约束方程的管理 运筹学问题。 本章的重点放在如何读懂“管理运筹学”软件包的 计算机输出结果——关于线性规划问题的求解和灵敏度 分析的信息，解决工商管理中的实际问题。
喂！相差值是什么意思？
我知道：如果决策变量取正数值，则相差值一般为零。 则此时目标函数的系数无法再改变使目标函数值变得更 好。 如果决策变量取0值，则相差值可能不为0（比如说 相差值为正a，也有可能为0)。则此时目标函数的系数可 以在原来基础上增加a（而当目标函数是求最小值时， 减少a)，则可能才能使此决策变量变为非零（即生产该 种产品），才有可能使目标函数值变得更好。 也可以这样理解：在相差值内,价值系数增加就不会影 响原来的最优基，但当价值系数增加大于等于相差值时, 最优基就会发生变x2≤300，（台时数） 2 x1+x2≤400，（原料A） x2≤250, （原料B） 在约束条件、松弛／剩余变量、对偶价格这栏中，可 知设备的台时数全部使用完，每个设备台时的对偶价格 为50元，即增加了一个台时数就可使总利润增加50元； 原料A还有50千克没有使用，原料A的对偶价格当然为零， 即增加1千克A原料不会使总利润有所增加；原料B全部使 用完，原料B的对偶价格为50元，即增加一千克原料B就 可使总利润增加50元。
输入目标函数系数
在这输入约束条件，在输 入约束条件时注意清0，还 要注意不等号的方向。
一般地变量的非负性不必 修改。
输完模型后就可以选择要进行的操作， 如：保存、解决（求解）等。下面是例 1的输入结果。
输完模型后，苦要修 改模型点这里
解决后得到如下结果。
如果选择保存，就弹出保存路 径的对话框。
设备 原料A 原料B
所谓当前值是指约束条件右边值的现在值，可知b1=300；b2=400， b3=250。所谓上限值与下限值是指当约束条件的右边值在此范围 内变化时，则与其对应的约束条件的对偶价格不变，不能保证最 优解不变。从可由对偶价格判断增加某约束条件的常数项值是否 能使目标函数值变得更好（前提条件是其它常数项保持不变）。 当设备台时数在250→325的范围内，其对偶价格都为50元，说 明增加设备台时数可使目标函数值变大，每增加1个台时数可增加 利润50元。当原料A的公斤数在350到+∞范围内，其对偶价格都为 零；增加原料A对目标函数值无影响。当原料B的千克数在200到 300的范围内，其对偶价格都为50元。例如设备台时数和原料A的 数量不变，即b1=300；b2=400，原料B变为280千克，由于 200≤280≤300，原料B的对偶价格仍为50元，故新的最大利润值应 为： 27500+(280-250)×50=29000元。这里50是对偶价格。
下面以第二章的例1为例说明 此软件的用法
max Z=50x1+100x2， 约束条件：x1+x2≤300， 2 x1+x2≤400， x2≤250, x1≥0, x2≥0. 选择了线性规划后，就出现的界面，然后点 新建。得到如下对话框：
然后新建清零，下面就可以 输入模型了。
先输入变量个数、约束个数和 MAX或Min，然后点确定后， 才能输入模型。
“管理运筹学”的软件包
§3.1“管理运筹学”软件的操作方法 下面用运筹学软件2.0来解决例1的线性规划问题。
从开始→程序→管理运筹学2.0，这样就打开此软件，如下 图：
然后就 根据需 要选择 运筹学 的各个 分枝
1．输入的系数可以是整数、小数， 但不能是分数，要把分数先化为小数再输入。 2．输入前先要合并同类项。 3、此软件的一个最大缺点是变量只有一组X， 不能有Y和Z等，而且下标不能是二维下标如： X12是错的（看作是一维）。还有X1A等也是错 误的，其次模型的修改比较麻烦。
在目标函数系数范围一栏中，所谓的当前值是指在目标函数 中决策变量的当前系数值。如x1的系数值为50，x2的系数值为100。 所谓的上限与下限值是指目标函数的决策变量的系数（其它决策 变量的系数固定在当前值）在此范围内变化时，其线性规划的最 优解不变。例如当c1= 80时，因为0≤80≤100，在x1的系数变化范 围内，所以其最优解不变（此时要固定c2=100)，也即当x1=50， x2=250时，有最大利润。当然由于产品Ⅰ的单位利润由50变为80 了，其最大利润也增加了(最优值变了)， 变为80×50 +100×250 =29000(元)。 但是如果c1=110元时，由于110>100，所以原来的最优解就可 能不再是最优解了。 同样从上图可知，当c2 在50与＋∞之间变化时（此时要固定 c1=50) ，原来的最优解依然是其最优解。
输入文件名，然后 点保存即可，以后 可以点打开调出模 型。
如何读懂输出结果？
§3.2软件输出信息分析
从上面变量、最优解、相差值一栏中，知道例1的最优解为生 产Ⅰ产品50单位；生产Ⅱ产品250单位。相差值的数值表示相应的 决策变量的目标系数需要改进的数量，使得该决策变量有可能取 正数值，一般地，当决策变量已取正数值时则相差值为零。如果 决策变量取0值，则相差值可能不为0。对例1来说由于x1=50， x2=250，都是正值，所以它们的相差值都为零。如果x1的值为0； x1 的相差值为20；则就知道，只有当产品I 的利润再提高20元，即 达到50+20=70元时（这里的50是表示X1的利润，不是X1的最优 解）， 产品I 才可能生产，即x1才可能大于零。对于目标函数求最 小值的线性规划问题，那么所谓的改进就应该使其对应的决策变 量的系数减少其相差值。这在以后还要说明。