155 2 ⎨( ) 江苏省南师附中 2020-2021 学年度第一学期期中考试高一数学一、单项选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分，共 40 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. 已知全集U = {−1, 0,1, 2} ， A = {−1,1} ，则集合 U A = （ ）．A. {0, 2}B. {−1, 0}C. {0,1}D. {1, 2}2.“ x = 1”是“ x 2 − 5x + 4 = 0 ”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“ ∃x ∈ R , x 2 − x −1 > 0 ”的否定是（）．A. ∃x ∈ R , x 2 − x −1 < 0 C. ∀x ∈ R , x 2 − x −1 ≤ 0B. ∃x ∈ R , x 2 − x −1 ≤ 0 D. ∀x ∈ R , x 2 − x −1 > 04. 已知 x 2 + x −2 = 3 ，则 x + x −1 的值为（）．A. B. 1C. ⎧2x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3± D. ±15.函数 f ( x ) = ⎪ 1 ⎪⎩ x ,x < 0 的值域为（）．A. [−3,1]B. (−∞,0)C. (−∞,1)D. (−∞,1] 6. 下列四组函数中， f ( x ) 与g ( x ) （或 g (t ) ）表示同一个函数的是（ ） A. f (x ) =C. f ( x )= g ( x ) = xx 2 + x − 2 g x = x + 2x −1B. f ( x ) = D. f ( x ) = xg (t ) =( g (t ) = t)27. 已知实数a > 0,b > 0 ，且 1 + 1= 1 ，则a + 2b 的最小值为（）．A. 3 + 2x 3a b + 1B. 2 +1C. 4D. 3 + 352 28. 函数 f ( x ) =x 2−1 的图像大致为（ ）．A B C D.3 x 3 x 2t 2 22 2 2 2 ⎨0, x 为无理数 ⎨ ⎩求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分） 9. 设集合 A = {x x 2 − 2x = 0}，则下列表述不正确的是（）．A. {0}∈ AB. 2 ∉ AC. {2}∈ AD. 0 ∈ A10. 下列四个条件中，能成为 x > y 的充分不必要条件的是（）A. xt 2 > yt 2B. xt > ytC. x > yD. 0 < 1 < 1x y11. 下列命题中是真命题的有（）．A.若函数 f (x ) 在(−∞,0]和(0, +∞) 上都单调递增，则 f ( x ) 在R 上单调递增； B. 狄利克雷函数 f ( x ) = ⎧1, x 为有理数在任意一个区间都不单调；⎩C. 若函数 f ( x ) 是奇函数，则一定有 f (0) = 0 ；D. 若函数 f ( x ) 是偶函数，则可能有 f (0) = 0 ；12. 已知a > 1， b > 1 ，且ab − (a + b ) = 1 ，那么下列结论正确的有（）．A. a + b 有最大值2 + 2B. a + b 有最小值2 + 2C. ab 有最大值 +1D. ab 有最小值2 + 3三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上⎧0, x > 0 13. 已知 f ( x ) = ⎪−1, x = 0⎪3x − 2, x < 0 ，则 f ( f ( f (6)))= ．14. 已知函数 f (x ) = ax 5 + bx 3 + c+ 7 ， f (−3) = 5 ，则 f (3) = ．x15. 某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子 60 元/盒，桔子 65 元/盒，水蜜桃 80 元/盒，荔枝 90 元/ 盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到 120 元，顾客就少付 x 元， 每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80% .① x = 10 时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付元；② 在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即 70%），则 x 的最大值是．16. f (x ) 为定义在R 上的偶函数， g ( x ) = f ( x ) − 2x 2 在区间[0, +∞) 上是增函数，则不等式 f (x +1) − f (x + 2) > −4x − 6 的解集为．9 ⎪ 2 3 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分 10 分）2已知a ,b 均为正数，证明： a + b ≥ a + b ．b a18. （本小题满分 12 分）计算：−1⑴ e ln 2 + ⎛ 4 ⎫ 2+⎝ ⎭⑵ (lg 2)2+ lg5 ⋅ lg 20 + log 3⋅log 4 ．19. （本小题满分 12 分）已知二次函数 f ( x ) 的值域为[−4, +∞) ，且不等式 f ( x ) < 0 的解集为(−1,3) ． ⑴ 求 f ( x ) 的解析式；⑵ 若对于任意的 x ∈[−2, 2] ，都有 f ( x ) > 2x + m 恒成立，求实数m 的取值范围.⎣20. （本小题满分 12 分）某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一块面积为 100 平方米的矩形区域 ABCD 修建花圃，规定 ABCD 的每条边长不超过 20 米．如图所示，要求矩形区域 EFGH 用来种花，且点 A , B , E , F 四点共线，阴影部分为 1 米宽的种草区域．设 AB = x 米，种花区域 EFGH 的面积为 S 平方米． ⑴ 将 S 表示为 x 的函数； ⑵ 求 S 的最大值．21. （本小题满分 12 分）已知集合 A = {y | y =，集合 B = {x | x 2 − x + a − a 2 < 0}． ⑴ 若 A B = A ，求a 的取值范围；⑵ 在 A B 中有且仅有两个整数，求a 的取值范围．22. （本小题满分 12 分）设 f ( x ) = x + a（ x > 0 ， a 为大于 0 的常数）x ⑴ 若 f ( x ) 的最小值为 4，求a 的值；⑵ 用定义证明： f ( x ) 在⎡ a , +∞)上是增函数； ⑶ 在⑴的条件下，当 x > 1时，都有 f ( x ) > m − m + 1恒成立，求实数m 的取值范围．x⎝ ⎭江苏省南师附中 2020-2021 学年度第一学期期中考试高一数学答案【答案】A ；【解析】由补集定义知选 A ． 2. 【答案】B ；【解析】因为{1} 是{x x 2 − 5x + 4 = 0}的真子集，所以“ x = 1”是“ x 2 − 5x + 4 = 0 ”的充分不必要条件． 3.【答案】C ；【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C ． 4. 【答案】C ；【解析】由(x + x −1 )2= x 2 + x −2 + 2 = 5 ，知 x + x −1 = ± 5.【答案】D ；5 ，故选 C ．【解析】当 x < 0 时， f ( x ) = 1 单调递减，范围为(−∞,0)，当0 ≤ x ≤ 3 时， f ( x ) = 2x − x 2 在[0,1] 上单调递 x增，在[1,3] 上单调递减，范围是[−3,1] ，所以函数值域为(−∞,1] ，故选 D ．6.【答案】D ；【解析】A 选项， f ( x ) = x ，故错误；B 选项，定义域不同，故错误；C 选项，定义域不同，故错误；D 选项，是同一函数，故选 D ．7.【答案】B ；【解析】a + 2b = a + 2(b +1) − 2 = ⎛ 1 + 1 ⎫⎡a + 2(b +1)⎤ − 2 = 3 + 2(b +1) + a − 2 ≥ 2 2 +1 ，当且仅当a = 1+8.2 且b =a b +1⎪⎣ ⎦ 2 时等号成立，故选 B ．2a b +1 【答案】A ；【解析】 f ( x ) 定义域为(−∞, −1)(−1,1) (1, +∞) ，是奇函数，当x → +∞ 时， f ( x ) → +∞ ，故选 A ．⎩【答案】ABC ；【解析】 A = {0, 2} ，故选 ABC ． 10. 【答案】ACD ；【解析】A 选项，若 xt 2 > yt 2 ，则t 2 ≠ 0 ，则 x > y ，反之不成立，A 正确；B 选项，当t < 0 时， x < y ，B 错误；C 选项，若 x > y ，由 y ≥ y ，则 x > y ，反之不成立，C 正确；D 选项， f ( x ) = 1 在(0, +∞) 单调递减，若0 < 1 < 1，则 x > y ，反之不成立，D 正确；x x y 故选 ACD ．11.【答案】BD ；【解析】A 选项，若 f ( x ) = ⎧x , x ≤ 0是一个反例，A 错误；12.⎨ln x , x > 0 B 选项，在任意区间 I 上总可以取 x 1 , x 2 ∈Q ，使 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ，则 f ( x ) 在 I 上不单调，B 正确； C 选项， f ( x ) = 1是一个反例，C 错误； x D 选项， f ( x ) = x 2 符合要求，D 正确； 故选 BD ． 【答案】BD ； 【解析】法一：令a + b = s , ab = t ，由题意可得 s > 2,t > 1， t − s = 1，由基本不等式 s ≥ 2 t ，则t −1 ≥ 2 ，由t > 1 可得t 2 − 2t +1 ≥ 4t ，则t ≥ 3 + 2 ， a = b = 2 +1取等； s ≥ 2 s +1 ，由 s > 2 可得 s 2− 4s − 4 ≥ 0 ，则 s ≥ 2 + 2 ， a = b = 2 +1取等；故选 BD ； 法二：由ab − (a + b ) = 1 可得(a −1)(b −1) = 2 ，令m = a −1 > 0, n = b −1 > 0 ，则a + b = m + n + 2 ≥ 2 + 2 = 2 + 2 ， m = n = 2 取等；ab = (m +1)(n +1) = mn + m + n +1 = 3 + m + n ≥ 3 + 2 故选BD ．，m = n = 2 取等； t 2 2 mn 2 2+ b ⎪⎪ ⎨ ⎛ a + b ⎫ > 3 3 【答案】−5 ；【解析】 f ( f ( f (6)))= f ( f (0)) = f (−1) = −5 ． 14.【答案】9 ；【解析】 f (3) + f (−3) = 7 + 7 = 14 ，所以 f (3) = 14 − 5 = 9 ．15.【答案】130 ；15 ．【解析】① 60 + 80 −10 =130 ；②由题意可知，购买总价刚好为120 元时，折扣比例最高， 此时有0.8⨯(120 − x ) ≥ 0.7 ⨯120 ， 解得 x ≤ 15 ．16.【答案】⎛−∞, − 3 ⎫ ；2 ⎪ ⎝ ⎭【解析】由 f (x ) 为偶函数，可知 g ( x ) 也为偶函数，且在R 上先减再增， 由 f (x +1) − f (x + 2) > −4x − 6 ，可知 f ( x +1) − 2( x +1)2> f ( x + 2) − 2( x + 2)2，即 g (x +1) > g (x + 2) ， 可知 x +1 > x + 2 ，解得 x <− 3 .217.【答案】详见解析．【解析】法一：由基本不等式可得，2 2 b + + a ≥ +2(a + b ) ， b a⎧ a 2 =当且仅当⎪ b b 2= ⎩ a则原式得证．b，即a = b 时取等， a22法二： ⎪(a + b ) = a2 + b 2 + a3 + b 3 ⎝ b a ⎭b a 由 a > 0,b > 0 ，可得a + b > 0 ， b 0, a> 0 ， ab > 0 ，a ba ，b ⎫ 9 ⎪ 2 3 ⎩⎩ 2 22⎛ a 2 则 +2 ⎪(a + b ) ≥ a 2 + b 2 + 2 = a 2 + b 2 + 2ab = (a + b )2 ，⎝ b a ⎭2 由 a + b > 0 可得 a + b≥ a + b aa 2b 2a 2 −b 2b 2 − a 2(a − b )(a 2 − b 2 ) (a − b )2 (a + b )法三： + − (a + b ) =+ = =，b a b aabab2 2 由 a > 0,b > 0 可得 a + b − (a + b ) ≥ 0 即 a + b≥ a + b ．b a b a18.【答案】⑴ 3；⑵ 3 ．2【解析】⑴− 1eln 2+ ⎛ 4 ⎫ 2+⎝ ⎭= 2 + 3 − 2 = 3 ； 2 2 ⑵ (lg 2)2+ lg5 ⋅ lg 20 + log 3⋅log 4 = (lg 2 + lg5)2+ 2 = 3 ．19.【答案】⑴ f (x ) = x 2 − 2x − 3 ；⑵ m < −7 ．【解析】⑴ 设 f (x ) = ax 2 + bx + c ，由题意可知：⎧ f (−1) = a − b + c = 0⎧a = 1 ⎪ f (3) = 9a + 3b + c = 0 ，解得⎪b = −2 ，即 f (x ) = x 2 − 2x − 3 ； ⎨ ⎪ f (1) = a + b + c = −4 ⎨ ⎪c = −3 ⑵ m < x 2 − 4x − 3 对 x ∈[−2, 2] 恒成立， 令 g ( x ) = x 2 − 4x − 3 ，当 x ∈[−2, 2] ，可知 g ( x )∈[−7,9]， 故 m < −7 ．20.【答案】⑴ S = 102 −200 − x (5 ≤ x ≤ 20) ；⑵ S 的最大值为102 − 20 2 ．x【解析】⑴ 因为 AB = x ，所以 AD =100， EF = x − 2 ， FG = 100−1； x x所以 S = ( x − 2)⎛ 100 −1⎫= 102 − 200 − xx ⎪x ⎝ ⎭ 因为0 < x ≤ 20, 0 < 100 ≤ 20 ，解得5 ≤ x ≤ 20 ，所以 S = 102 − 200− x (5 ≤ x ≤ 20) ；x xa 2b 2 5 −32b ．⑵ S ≤ 102 − 2 = 102 − 20 ，当且仅当 x = 10 2 时取等所以 S 的最大值为102 − 20 2 ．21.【答案】⑴ 0 ≤ a ≤ 1 ；⑵ [−1, 0) (1, 2]； 【解析】⑴ 因为 A 所以 B ⊆ A ， 因为4x − x 2 ≤ 4 ， 所以 A = [0, 2] ；集合 B 的不等式可化为(x + a −1)(x − a ) < 0 ，① B =∅ ，即∆≤ 0 ，解得a = 1，符合；2② B ≠∅ ，即a ≠ 1 时，此时0 ≤ a ≤ 2,0 ≤1− a ≤ 2 ，解得0 ≤ a ≤ 1 且 a ≠ 1；2 2 综上0 ≤ a ≤ 1 ；⑵ 集合 A 中有三个整数0,1, 2 ， B = {x | ( x − a )( x + a −1) < 0} ； 由 A B 中有且仅有两个整数，可得 B 中有0,1, 2 中的两个整数； a < 1− a 即 a < 1时， B = (a ,1− a ) ，2 则 B 中整数仅有有0,1 或仅有1, 2 ，若仅有0,1 ，则−1 ≤ a < 0,1 <1− a ≤ 2 ，解得−1 ≤ a < 0 ； 若仅有1, 2 ，则0 ≤ a < 1 ， 2 < 1− a ≤ 3 ，无解； a = 1− a 即 a = 1时， B =∅ ，不满足题意；2 a > 1− a 即 a > 1时， B = (1− a , a ) ，2 则 B 中整数仅有有0,1 或仅有1, 2 ，若仅有0,1 ，则−1 ≤1− a < 0,1 < a ≤ 2 ，解得1 < a ≤ 2 ， 若仅有1, 2 ，则0 ≤ 1− a < 1 ， 2 < a ≤ 3 ，无解； 综上，实数a 的取值范围是[−1, 0)(1, 2] ．x ⨯ 200x 2 B = Aa a 6 6 ⎣ ⎣ x x x x22.【答案】⑴ 4；⑵ 证明见解析；⑶ 【解析】⑴ 由基本不等式 f ( x ) ≥ 2m < 2+ 2 ．当且仅当 x = 解得a = 4 ；⑵ 任取 x 1 , x 2 ∈⎡ a 时取等，所以2 = 4a , +∞)，设 x 1 < x 2 ，f ( x ) − f ( x ) = ( x − x ) + a( x − x ) = ( x − x ) x 1 x 2 − a ， 1 2 1 2因为 ≤ x 1 < x 2 ； 2 1 1 21 2 1 2所以 x 1x 2 > a , x 1x 2 − a > 0 ， 又因为 x 1 − x 2 < 0 所以 f (x 1 ) − f (x 2 ) < 0 所以 f (x 1 ) < f (x 2 ) 所以 f ( x ) 在⎡ a , +∞)上是增函数 得证；⑶ 原不等式可化为 x 2 + 4 > mx − m −1x 2 + 5 6即 m < = x + 1 + x −1x −1 恒成立因为 x +1 + 6 x −1 = x −1 + 6x −1+ 2 ≥ 2 6 + 2 ，当且仅当 x −1 = 即 x = 1+ 6 时取等 所以m < 2 + 2．6 a。