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日期
1 月 15 日 2 月 15 日 3 月 15 日 4 月 15 日 5 月 15 日 6 月 15 日
昼夜温差
x（℃）
10
11
13
12
8
6
就诊人数
22
25
29
26
16
12
甲、乙、丙三人：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选 取的 2 组数据进行检验 （Ⅰ）记选取的 2 组数据相隔的月份数为 X，如 1 月与 3 月或 3 月与 1 月相隔 1 个月，取 X=1．若 是相邻 2 组的数据，取 X=0，求 X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）已知选取的是 1 月与 6 月的两组数据 （1）请根据 2 至 5 月份的数据，求出就诊人数 y 关于昼夜温差 x 的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到 的线性回归方程是理想的，试问这三人所得线性回归方程是否理想？
A. 1-2i
B. 1+2i
C. 2-i
D. 2+i
3. 已知{an}为等比数列，Sn 为其前 n 项和，若 S6=-7S3，a2+a4=10，则 a1=（ ）
A. 3
B. -1
C. 2
D. -2
4. 若 x，y 满足
，若 z=2x-3y 有最小值为-7，则 z 的最大值是（ ）
A. 7
B. 14
C. 18
，
在（-2，-1），f′（x）＞0
在（-1，- ）f′（x）＜0
在（- ，+∞）f′（x）＞0
∴函数 f（x）在 x=- 取得极小值点，在 x=-1 取得极大值点， ∵函数定义域是：{x|x＞-2} ∴f（x）的极大值为 f（-1）=
②当 a= 时，函数 f′（x）= - x- =-
，
在（-2，- ），f′（x）＞0
D.
8. 设 x=- 是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点，则 f（x）的极大值为（ ）
A. 2
B. 1
C.
D.
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9. 已知函数 f（x）=（1-2sin2x）sin（ ）-2sinxcosxcos（ -θ）（
）在[-
]上单调递
增，且 f（ ）≤m，则实数 m 的取值范围为（ ）
1.答案：A
-------- 答案与解析 --------
解析：解：A={x|-1＜x＜5}； ∴A∩B={1，2，3，4}． 故选：A． 可求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
2.答案：C
解析：解：∵ =（3-i）i=1+3i，
粮仓的高 AA1=
（丈）．
长方体 ABCD-A1B1C1D1 的外接球的直径为
（2R）2=
=22+32+4.52=33.25= ，
∴外接球的表面积为 4πR2= π（平方丈），
故选：C． 由题意画出图形，求出长方体的高，再由对角线长公式求得长方体外接球的直径，得到半径，代入 球的表面积公式得答案． 本题考查长方体的体积的求法，考查长方体外接球表面积的求法，是基础题．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. △ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 7c=2 a，cosC=-
（Ⅰ）求 sinB 的值； （Ⅱ）若 D 为 AB 中点，且△ABC 的面积为 ，求 CD 的长度
18. 齐齐哈尔医学院大一学生甲、乙、丙三人为了了解昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系， 他们到气象局与校卫生所抄录了 1 至 6 月份每月 15 号的昼夜温差值与因患感冒而就珍的人数， 得到如下表格：
10.答案：B
解析：解：以 D 为原点，DA，DC， DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立 空间直角坐标系， 则正方体 ABCD-A1B1C1D1 中棱长为 2， 则 D（0，0，0），E（2，0，1），F （0，2，1），B1（2，2，2），G（1， 2，0），
曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 sin（θ+ ），直线 l 的参数方程为
（t 为参数）．
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 P 坐标为（-2，0），l 与 C 的公共点为 A，B，求|PA|•|PB|的值．
23. 已知 a＞0，b＞0，c＞0，
=1．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）证明：
．
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=1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点 A（1， ）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设直线 l：y=kx+2 与椭圆 C 有两个交点 D，E，且 O 是坐标原点，当△ODE 面积最大时， 求 k 值．
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21. 已知函数 f（x）=lnx- ． （Ⅰ）求证：函数 f（x）只有一个零点 x0，且 x0∈（1，2）；
8.答案：D
解析：解：函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x，定义域是：{x|x＞-2} f′（x）= -2ax-3a2
因为 x=- 是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点，
则：f′（- ）=0，解得：9a2-3a-2=0，即：a=- ，或 a= ，
讨论 a；
①当 a=- 时，函数 f′（x）= + x- =
D. 20
5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤
四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽 3 丈，长 4 丈 5
尺，可装粟一万斛．问该粮仓的高是多少？已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，1 丈为 10 尺，则
该粮仓的外接球的表面积是（）
7.答案：A
解析：解：根据题意，当 0≤x＜1 时，f（x）= ， 若 f（x）是周期为 2 的奇函数，则 f（0）=0，即 f（0）= =0， 若 f（ ）=- ，则 f（- ）=f（- ）=-f（ ）=- ，则 f（ ）= ，即 = ，
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解可得：a=0，b=1，则当 0≤x＜1 时，f（x）= ，则 f（ ）= = ； 又由 f（x）是周期为 2 的奇函数，则有 f（1）=f（-1）与 f（1）=-f（-1）同时成立，则 f（1）=0， 则 f（1）+f（ ）=0+ = ； 故选：A． 根据题意，由 f（x）是周期为 2 的奇函数，可得 f（0）=0，同时可得 f（- ）=f（- ）=-f（ ）=- ，解
2019 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|x2-4x-5＜0}，B={1，2，3，4，5}，则 A∩B=（ ）
A. {1，2，3，4} B. {2，3}
C. {3，4}
D. {4，5}
2. 若复数 z 的共轭复数为（3-i）i，则 =（ ）
A. [ ，+∞）
B. [ ，+∞）
C. [1，+∞）
D. பைடு நூலகம் ，+∞）
10. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为 AA1，CC1，BC 的中点，则直线 B1G 与平面 B1EDF 所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，且 l 与 x 轴的交点为 P，过 P 的直线与 C 交于 A，B
（Ⅱ）设 g（x）=
，其中 x0 是函数 f（x）的零点．若方程 g（x）=k（k∈R）在
（1，+∞）内有两个不等实根 x1，x2（x1＜x2），判断 x1+x2 与 2x0 的大小，并给出对应的证明．
22. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴．已知
可得函数的解析式可得关于 a、b 的方程，解可得 a、b 的值，即可得函数的解析式，由此可得 f（ ）
的值，又由 f（x）是周期为 2 的奇函数，则有 f（1）=f（-1）与 f（1）=-f（-1）同时成立，则 f（1） =0，相加即可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出 a、b 的值，属于基础题．
在（- ，+∞），f′（x）＜0
∴x=- 不是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点，与题设矛盾，a= 舍去．
综合可得：x=- 是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点时，f（x）的极大值为： ．
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故选：D． 求函数的导函数，利用极小值点求出 a 的值，再确定出函数的解析式，从而确定函数的极大值． 考查利用导数研究函数的极值问题，考查函数极值和极值点，属于中档题．
符合题意，
∴
，
∴当 =0 时，f（ ）=cos（ ）的最大值为 1，
∵f（ ）≤m 在[- ，- ]上恒成立，
∴m≥f（ ）max=1，
∴m 的取值范围为：[1，+∞）． 故选：C．
根据函数 f（x）在[- ，- ]上单调递增，求出 θ 的范围，然后求出 f（ ）的最大值即可．
本题考查了三角函数的图象与性质，关键是 θ 的取值范围，属中档题．
4.答案：D
解析：解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，
由
得 A（a，3a）
函数在点 A（a，3a）处目标函数取得最小值：z=2×a-3×3a=-7， 解得 a=1．