一、某个消费者的间接效用函数为αα-=12121),,(p p y y p p v ，其中10<<α。
求：（1） 该消费者的直接效用函数；（2） 该消费者的支出函数；二、利用效用函数11321212(,)u x x x x=，预算约束1122m p x p x =+，计算(,)mx p m ，(,)v p m 和(,)hx p u消费者的效用最大化问题为：11321212max :(,)u x x x x =1122..:s t p x p x m +=拉格朗日函数为：1132121122(,)()L x x x m p x p x λλ=+-+一阶条件为：113212112x x p λ-= 213212213x x p λ-= 1122p x p x m +=联立以上三式求解得到：113(,)5m x p m p =，222(,)5mx p m p = 将需求函数代入效用函数即得出间接效用函数为：111152323612123232(,)555m m m v p m p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由(,(,))v p e p u u =得：32655125(,)532p p e p u u ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据谢泼德引理，(,)(,)i ie p u h p u p ∂=∂，可以得到希克斯需求函数为： 226551251(,)32p p h p u u -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭336551252(,)32p p h p u u -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）消费者i 面临如下最小化支出问题：0xmin px (p,)e u = ..s t 0(x)u u ≤当 00u ≠ 且 00u >时，由效用函数严格递增可得 00x (x)1u u u u ⎛⎫≤⇔≤⎪⎝⎭厦门大学研究生《高级微观经济学(I)》课程试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师：＿＿＿＿试卷类型：（A 卷）∴ 原问题转化为： 000x min p (p,1)u u e u⋅=⋅ ..s t 0x 1u u ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭这表明，0(p,)(p,1)e u u e =⋅；显然，当00u =时，该式子亦成立。
因此推广到一般形式，(p,)(p)(p)e u a u b =⋅+， 即(p)(p,1)a e =， (p)0b = 故命题成立。
（2） 由谢泼德引理，x (p,)(p,)(p,1)i i i p p u e u u e =∇=⋅∇，x (p,)x (p,)(p,1)(p,1)(p,1)iiiiip p y y u u e e e ==⋅∇=⋅∇∴ 市场总需求为11111(p,1)(p,1)x x (p,)(p,)(p,1)(p,1)I I II Ip p iiiii i i i i i i e e X y y y X y e e =====∇∇===⋅=⋅=∑∑∑∑∑∴ 命题得证。
三、假定某人拥有财富20万元，包括一辆价值10万元的汽车，因治安问题，该车有25%的可能性被盗，已知该人的效用函数为)()(w Ln x U =，其中w 表示财富。
试求： （1） 该人的效用期望值；（2） 如何根据效用函数判断该人是愿意避免风险还是爱好风险；（3） 如果该人支付一定的保险费可以在汽车被盗时从保险公司得到与汽车价值相等的赔偿，他最多愿意支付多少的保险费。
四、经济中有I 个偏好相同但保留效用水平不同的消费者，其效用函数满足如下特征：(x)(x)u t tu =， 且 (0)0u = ； 效用函数严格递增。
证明：（1）支出函数具有高曼形式，即 (p,)(p)(p)e u a u b =⋅+；（2）假定市场需求为消费者需求的简单加总，即 1x Iii X ==∑，那么1(p,)Ii i X X y ==∑即市场需求仅与消费者的收入总额有关，而与消费者的收入分布无关。
i y 为消费者i 保留效用水平下所对应的收入水平。
（1）消费者i 面临如下最小化支出问题：0xmin px (p,)e u = ..s t 0(x)u u ≤当 00u ≠ 且 00u >时，由效用函数严格递增可得 00x (x)1u u u u ⎛⎫≤⇔≤⎪⎝⎭∴ 原问题转化为： 00x min p (p,1)u u e u⋅=⋅ ..s t 0x 1u u ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭这表明，0(p,)(p,1)e u u e =⋅；显然，当00u =时，该式子亦成立。
因此推广到一般形式，(p,)(p)(p)e u a u b =⋅+， 即(p)(p,1)a e =， (p)0b = 故命题成立。
（2） 由谢泼德引理，x (p,)(p,)(p,1)i i i p p u e u u e =∇=⋅∇，x (p,)x (p,)(p,1)(p,1)(p,1)iiiiip p y y u u e e e ==⋅∇=⋅∇∴ 市场总需求为11111(p,1)(p,1)x x (p,)(p,)(p,1)(p,1)I I II Ip p iiiii i i i i i i e e X y y y X y e e =====∇∇===⋅=⋅=∑∑∑∑∑∴ 命题得证。
五、考虑一个生产者的生产函数形式： 112112212(,)(),0,0f x x x x ρρραααα=+>> （1）证明：当-∞→ρ时，该函数与列昂惕夫函数代表的是一样的生产。
（2）当121==αα时，求该生产函数的替代弹性12σ和局部规模报酬弹性)(x μ。
（3）在（2）的条件下，求该生产函数对应的条件要素需求函数和成本函数。
解：（1） 当21x x >时1121222lim ()lim (())xv x x x x ρρρραα→-∞→-∞=+= 同理可得：当21x x <时， 1lim ()v x x ρ→-∞=当21x x =时12122lim ()lim ()v x x x ρρραα→-∞→-∞=+=综上所述，},min{)(lim 21x x x f =-∞→ρ（2）替代弹性求法如下：11/111/1111222121111222211212() ()d lnln()(1)ln()ln11ln ρρρρρρρρρρσρ-----=+=+⇒==-⇒==-f x x x f x x x f x xd d f x x x d x f d f局部规模报酬弹性求法如下：121221121=+++=+=ρρρρρρμμμx x x x x x 由成本最小化问题解得条件投入需求函数：1/(1)1/112212()ρρρρρρ-----=+x yw w w 1/(1)1/111112()ρρρρρρ-----=+x yw w w把它们带入目标函数中得成本函数为：(1)/11112212(,)()ρρρρρρ---=+=+c w y w x w x y w w六、一个由两个厂商组成的行业，行业面临的反需求曲线为p=100-Y ，其中12Y y y =+，这两个厂商的成本函数为i ,(0,50),i=1,2i i i i C c y c c =∈其中为常数且（1）如果两个厂商都是古诺竞争者，求古诺均衡产量；（2）如果厂商1是追随者，厂商2是领导者，求其Stackelberg 均衡产量（3）如果12c c c==，两家厂商串通，追求共同的利润最大化，则其总的产量水平是多少？解：（1）厂商i 的利润最大化行为为：1111211122212222max (100)max (100)py c y y y c y py c y y y c y ππ=-=---=-=---相应的一阶条件为：11211221221002010020y y c y y y c y ππ∂=---=∂∂=---=∂求解得：21110023c c y +-=12210023c c y +-=（2）厂商1的利润最大化为11112111max (100)py C y y y c y π=-=--- 一阶条件为：1121110020y y c y π∂=---=∂ 可求出：2111002y c y --=厂商2的利润最大化行为为：212222222100max (100)2y c py C y y c y π--=-=---一阶条件为：212225002cy c y π∂=-+-=∂ 求解得：2121502y c c =+-代入1y ，得到21135022c c y +-=（3）联合利润最大为：1212121122max (100)()pY C C y y y y c y c y π=--=--+--一阶条件为：1211100220y y c y π∂=---=∂ 1222100220y y c y π∂=---=∂ 可以解出： 12y 50y c +=-七、考虑一个单一个体经济，该个体没有任何商品禀赋（用y 表示），每天有24小时（用h 表示），所以(24,0)e =。
其效用函数为(,)u h y {(,)|0,0Y h y h b y =-≤≤≤≤，b 是一个很大的正数。
12,p p 分别代表消费品y 和闲暇h 的价格。
（1）请写出瓦尔拉斯一般均衡的一般求解步骤；（2）根据这一求解步骤，计算上述经济的一般均衡价格（相对价格）。
（3）计算瓦尔拉斯一般均衡配置。
（4）这个经济个体每天工作几个小时？。