河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集为实数集R ，{}24M x x =>，{}13N x x =<≤，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤<B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x <2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ）A ．2011B ．2012C ．4022D ．40234. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） ①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。
A C ．③④⑤D ．④⑤ 5. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1相交于点E ，则点E 为△A 1BC 1的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心6.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（ ）A ．613B ． 365C ．65D ．3613（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ ） A ．115,106π- B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π- 9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．12+C ．13+D ．23+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( )1A. )0,(-∞B. ()+∞,0C. )1,(-∞D. ()+∞,111.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A (0，－1)，B (0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( ) A.x 23＋y 24＝1(y ≠0) B.x 24＋y 23＝1(y ≠0) C.x 23＋y 24＝1(x ≠0) D.x 24＋y 23＝1 (x ≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ）A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在区间[－6，6]，内任取一个元素x O ，若抛物线y=x 2在x=x o 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。
．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 15. 在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若0cAC aPA bPB ++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC ∆的形状为 。
16.在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列 {}Λ,2,1,=j A j ，以及在第一象限内的抛物线x y 232=上从左向右依次取点列 {}Λ,2,1,=k B k ，使k k k A B A 1-∆（Λ,2,1=k ）都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分12分）在△ABC 中，c b a ,,是角C B A ,,对应的边，向量),(c b a m +=,()c b a n -+=,，且ab n m )23(+=•. （1）求角C ；（2）函数）（021)2sin()cos()(cos )sin(2)(2>-+-+=ωωωx B A x B A x f 的相邻两个极值的横坐标分别为20π-x 、0x ，求)(x f 的单调递减区间.18.已知四边形ABCD 满足1//,2AD BC BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将△BAE 沿AE 翻折成11,B AE B AE AECD ∆⊥使面面，F 为1B D 的中点.（1）求四棱锥1B AECD -的体积； （2）证明：1//B E ACF 面；（3）求面11ADB ECB 与面所成锐二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ. 20.,当(]0,x e ∈时, ()ln f x ax x =+(其中e （1（2时，且[)0,e x -∈， （3时，()f x 的最小值是3 ？如果存在，求出实数a请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.21. （本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲已知PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于B 、C 两点，D 是圆上一点，且AB ∥CD ，DC 的延长线交PQ 于点Q（1）求证：AB CQ AC⋅=2（2）若AQ=2AP ，AB=3,BP=2，求QD.22．(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为 ⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （a ＞b ＞0，ϕ为参数），以Ο为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M )3,2( 对应的参数ϕ=3π，4πθ=与曲线C 2交于点D )4,2(π（1）求曲线C 1，C 2的方程； （2）A （ρ1，θ），Β（ρ2，θ+2π）是曲线C 1上的两点，求222111ρρ+的值。
23．(本小题满分l0分) 选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式a x x 2log |1||12|≤--+（其中0>a ）． （1）当4=a 时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a 的取值范围 数学（理科）答案一、选择题 （A ）卷CACDD DBABC CC （B ）CCADD BDACB CC 13、1112 14、21- 15、等边三角形 16. 2005 17、解:（1）因为ab n m c b a n c b a m )23(),,(),,(+=⋅-+=+=，所以ab c b a 3222=-+， 故23cos =C ,6,0ππ=∴<<C C Θ. ---------5分（2）21)2sin()cos()(cos )sin(2)(2-+-+=x B A x B A x f ωω =21)2sin(cos )(cos sin 22-+x C x C ωω =21)2sin(23)(cos 2-+x x ωω =)62sin(πω+x ----------8分 因为相邻两个极值的横坐标分别为20π-x 、0x ，所以)(x f 的最小正周期为π=T ,1=ω所以)62sin()(π+=x x f ---------10分由Z k k x k ∈+<+<+,2326222πππππ 所以)(x f 的单调递减区间为Z k k k ∈++],32,6[ππππ. ---------12分 18、解:（1）取AE 的中点M ，连结B 1M ，因为BA=AD=DC=21BC=a ，△ABE 为等边三角形，则B 1M=a 23，又因为面B 1AE ⊥面AECD ，所以B 1M ⊥面AECD ， 所以 43sin 23313a a a a V =⨯⨯⨯⨯=π ---------4分 AECD 为菱形，OE=OD 所以FO ∥B 1E ， 所以1//B E ACF 面。
---------7分(3)连结MD ，则∠AMD=090，分别以ME,MD,MB 1为x,y,z 轴建系，则)0,0,2(aE ,)0,23,(a a C )0,0,2(a A -,)0,23,0(a D ,)23,0,0(1a B ,所以1，)23,0,2(1aa EB -=，)0,23,2(a a AD =,)23,0,2(1a a AB =,设面ECB 1的法向量为),,(z y x u =，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+02320232az x aay x a ，令x=1, )33,33,1(-=u ，同理面ADB 1的法向量为)33,33,1(--=v ， 所以53313113131131311,cos =++⨯++-+>=<v u ， 故面11ADB ECB 与面所成锐二面角的余弦值为53.--------12分19.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件i A (i ＝0,1,2,3,4)，则i i ii C A P -=44)32()31()(（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率278)32()31()(22242==C A P 3分 （2）设“这4个人中去参加甲游戏的B ，则所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1. 7分因为AQ 为切线，所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB ∽△CQA,所以AB CQ AC⋅=2………5分。