rxy (m) ryx (m)
性质2 rxy (m) rx (0)ry (0) ExEy
性质3
lim
m
rxy (m)
0
因为一般能量信号都是有限非零时宽的，所以，当 m 时，二者的非零区不重叠， 所以，该性质成立。
信息与通信工程系—数字信号处理
2.自相关函数性质
性质1
若 x(n) 是实信号，则 rx (m)是实偶函数，即
[h(m) h(m)][x(m) x(m)]
rh (m) rx (m)
ry (0) rh (m) rx (m) m0
= rh (n)rx (n m) = rh (n)rx (n)
n
m0 n
系统稳定，则h(n)为能量信号
rh (m) 存在；
如果 rx (m) 存在，则 ry (m) 存在。
观测信号 y(n) x(n) w(n)；y(n) 的自相关函 ry (m)
(a) 2
w(n)
0
-2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 n
(b) 2
y(n)
0
-2
10
20
30
40
50 n
60
70
80
90 100
噪声自相关
(c)
函数导致
1
ry(m)
0
-1
-50 -40 -30 -20 -10
h(m) [x(m) x(m)]
h(m) rx (m)
所以，ryx (m)可以看成线性时不变系统对输入序列的响应输出。
rx (m)
LTI系统 h(n)
ryx (m)
信息与通信工程系—数字信号处理
系统输出信号的自相关函数:
ry (m) y(m) y(m) [h(m) x(m)][h(m) x(m)]
0
10 20 30 40 50
m
信息与通信工程系—数字信号处理
M>0 信号自相 关函数
SNR=5 dB时的噪声 w(n) ；
观测信号 y(n) x(n) w(n) ；y(n)的自相关函 ry (m)
(a) 2
w(n)
0
-2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 n
(b) 2
y(n)
0
-2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 n
(c) 1
ry(m)
0
-1
-50 -40 -30 -20 -10
0
10 20 30 40 50
m
信息与通信工程系—数字信号处理
结论： 1、从图可看出，即使噪声功率较小，观测信噪比达到5dB， 我们也很难直接从观测信号y(n)确定x(n)的周期； 2、但很容易从y(n)的自相关函数很容易确定x(n)的周期
M N ,即y(n)是一个因果序列，长度为M；
x(n)与w(n) 不相关，或相关性很小。
信息与通信工程系—数字信号处理
用自相关法求y(n)中隐含周期信号的周期
ry (m)
1 M
M 1
y(n) y(n m)
n0
1 M
M 1
[x(n) w(n)][x(n m) w(n m)]
n0
rxy
(m)
lim
N
1 2N
1
N n
N
x(n)
y(n
m)
当 x(n) y(n) 时，功率信号的自相关函数定义为
rx
(m)
lim
N ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2N 1
N nN
x(n)x(n
m)
信息与通信工程系—数字信号处理
周期信号的自相关函数
对周期信号，功率信号相关函数定义式中有限区间上的
平均值极限就等于一个周期上的平均值 。
雷达目标检测示意图
测距原理：
发射信号（参考信号）的采样 x(n)
接收信号的采样 y(n)
X(n)
目标，反射
y(n)
y(n)
y(n) ax(n D) w(n)
D-----延迟量 a-----衰减因子，表示发射信号在发射和反射信道中的损失 W(n)------天线接收到的加性噪声、接收机前端电子器件或放大器产生的噪声。
功率信号：
Px
功率信号(如周期信号) 是工程实际和理论研 究中的常用信号，如通信训练信号等。
信息与通信工程系—数字信号处理
复信号的相关函数：
如果 x(n) 和 y(n) 是复信号，其相关函数也是复信号
rxy (m) x(n) y(n m) n
rxx (m) x(n)x(n m) n
可以根据自相关函数的周期性质，估计一个周期信号的周期。
信息与通信工程系—数字信号处理
5.3 相关性函数的性质
信息与通信工程系—数字信号处理
5.3 相关函数的性质
很重要的性质
1.互相关函数性质
使很多问题的分析和判断更加简单
性质1 rxy (m)不是偶函数，而且 rxy (m) ryx (m) ，但有
信息与通信工程系—数字信号处理
5.2 周期信号的相关性
信息与通信工程系—数字信号处理
5.2 周期信号的相关性
按照能量信号的相关函数定义，功率信号的相关函数不存在！ 但在工程实际中，常常涉及功率信号的相关性 ，特别是周期信 号的相关性。所以，对其重新定义相关函数计算公式。
功率信号的互相关函数
设 x(n) 和 y(n) 是两个功率信号，其互相关函数定义为
N=10
信息与通信工程系—数字信号处理
5.6 用MATLAB计算相关 函数
信息与通信工程系—数字信号处理
5.7 用MATLAB计算相关函数
相关工具箱函数：
Rand
xcorr
功能及调用格式：
w=rand(N) 产生N维列向量w；
w=rand(M,N) 产生MN维矩阵w
产生均值为0.5，幅度在[0,1]上均匀分布伪随机序列
Ex表示信号x(n)的能量，即 rx (0)表示x(n)的能量
Ex , 能量信号 Ex = , 能量无限信号，主要研究其平均功率
信号的平均功率：Px
lim 1 N N 2N 1 nN
x(n) 2
信息与通信工程系—数字信号处理
信号的平均功率：
Px
1N lim N 2N 1 nN
x(n) 2
例5.6.1 设信号 x(n) sin( n / 5) , 0 n 199
观测信号 y(n) x(n) w(n)
干扰噪声 w(n) 是白噪声，在[-A ,A]上均匀分布
求自相关函数 ry (m) ，并确定信号 x(n)的周期。
解： 由本书8.6.1节公式（8.6.4）可知，
w(n) 的功率 Pw A2 / 12
rx (m) rx (m)
当 x(n) 是复信号，则 rx (m)是共轭对称函数，即
rx (m) rx* (m)
信息与通信工程系—数字信号处理
性质2 在m=0时取得最大值，即
rx (0) rx (m)
性质3
对能量信号x(n) ,将x(n)相对自身移至无穷远处，则二者不
相关，即
lim
m
rx (m)
将y(n)翻转变成y(-n)，再调用卷积程序计算，则得到x(n)和y(n)的互相关函数。
信息与通信工程系—数字信号处理
信号 x(n) 自相关函数：
rx (m) x(n)x(n m) n
自相关函数表示了信号与其自身移位后的的相似程度。
能量信号、功率信号：
rx (0) x2 (n) Ex n
所以，当m 0时，ry (m) arx (m)
x(n)是周期序列 rx (m)周期序列，且周期与x(n)相同 在m 0, N , 2N等时，rx (m)会周期性地出现较大峰值
结论：根据 ry (m) 从干扰噪声中检测出y(n)中是否存在 周期信号，并确定其周期N。
信息与通信工程系—数字信号处理
x(n) 的功率 Px 1 / 2
信噪比SNR
Px Pw
1/ 2 A2 / 12
6 A2
SNR 10lg Px / Pw 1 dB 时，A 6 /100.1
SNR 10lg Px / Pw 5 dB 时，A 6 /100.5
信息与通信工程系—数字信号处理
运行程序ep561.m，可产生 SNR=1 dB时的噪声 w(n) ；
ryx (m) rwx (m) 0
目标存在
ryx (m) arx (m D)
当m=D时，ryx (m)取得最大值： ryx (m) ryx (D) arx (0) aEx
雷达检测到目标，并根据所检测的反射延时D值换算出目标距离。
信息与通信工程系—数字信号处理
2 使用相关函数检测物理信号隐含的周期性
常用于近似均匀分布的白噪声信号w(n)
W(n)的平均功率：
1
M 1
x(n)x(n m)
1
M 1
x(n)w(n m)
1
M 1
w(n)x(n m)
M n0
M n0
M n0
1
M 1
w(n)w(n m)]
M n0
=rx (m) rxw (m) rwx (m) rw (m)
rxw (m) 0, rwx (m) 0 , rw (m) k (n)
rxy (m) x(n) y(n m) n
rxy (m)反映了x(n)与y(n m)两个波形的相似程度。
相关与卷积的运算关系：
x(n) y(n) x(l) y(n l) l
x(n) y(n) x(l) y(l n) l
因此 , rxy (m) x(n) y(n) nm