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2018年浦东区高三二模数学word版(附解析)

上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1. 21lim1n n n →+∞+=-2. 不等式01xx <-的解集为3. 已知{}n a 是等比数列,它的前n 项和为n S ,且34a =,48a =-,则5S =4. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数,则1(2)f -=5. 91)x二项展开式中的常数项为6.椭圆2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)的右焦点坐标为7. 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为8.函数2()cos 2f x x x =,x ∈R 的单调递增区间为 9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时,量得水面宽为8米,当水面下降1米后,水 面的宽为 米10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0),则该四面体的体积为11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在[0,)+∞上是增函数,如果对于任意[1,2]x ∈,(1)(3)f ax f x +≤-恒成立,则实数a 的取值范围是12. 已知函数2()57f x x x =-+,若对于任意的正整数n ,在区间5[1,]n n+上存在1m +个 实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ,使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立,则m 的最大 值为二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13. 已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ,若12||1x x -=,则实数p 的值为( )A.B.C.D.14. 在复数运算中下列三个式子是正确的:(1)1212||||||z z z z +≤+;(2)1212||||||z z z z ⋅=⋅;(3)123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅,相应的在向量运算中,下列式子:(1)||||||a b a b +≤+;(2)||||||a b a b ⋅=⋅;(3)()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅,正确的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 315. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为:“今来海上升高望,不到蓬莱不成仙。

”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的( ) A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件16. 设P 、Q 是R 上的两个非空子集,如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足:(1){()|}Q f x x P =∈;(2)对任意12,x x P ∈,当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”,以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是( ) A. R →Z B. Z →Q C. [1,2](0,1)→ D. (1,2)→R三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17. 已知圆锥AO 的底面半径为2,母线长为,点C 为圆锥底面圆周上的一点,O 为 圆心,D 是AB 的中点,且2BOC π∠=.(1)求圆锥的全面积;(2)求直线CD 与平面AOB 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)18. 在ABC ∆中,边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.(1)若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b A b a BC a b A-=-+-,求角C 的大小; (2)若4sin 5A =,23C π=,c =ABC ∆的面积.19. 已知双曲线22:1C x y -=.(1)求以右焦点为圆心,与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程;(2)若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ,求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.20. 已知函数()y f x =定义域为R ,对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-. (1)若(1)3f =-,求(16)f 的值;(2)若(1,2]x ∈时,2()22f x x x =-+,求函数()y f x =,(1,8]x ∈的解析式及值域; (3)若(1,2]x ∈时,3()||2f x x =--,求()y f x =在区间(1,2]n ,*n N ∈上的最大值与最小值.21. 已知数列{}n a 中11a =,前n 项和为n S ,若对任意的*n N ∈,均有n n k S a k +=-(k 是常数,且*k N ∈)成立,则称数列{}n a 为“()H k 数列”. (1)若数列{}n a 为“(1)H 数列”,求数列{}n a 的前n 项和n S ;(2)若数列{}n a 为“(2)H 数列”,且2a 为整数,试问:是否存在数列{}n a ,使得211||40n n n a a a -+-≤对一切2n ≥,*n N ∈恒成立?如果存在,求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值,如果不存在,请说明理由;(3)若数列{}n a 为“()H k 数列”,且121k a a a ==⋅⋅⋅==,证明:211(1)2n kn k k a -+-≥+.上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1. 21lim1n n n →+∞+=-【解析】22. 不等式01xx <-的解集为 【解析】(1)0(0,1)x x x -<⇒∈3. 已知{}n a 是等比数列,它的前n 项和为n S ,且34a =,48a =-,则5S = 【解析】512481611S =-+-+=4. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数,则1(2)f -= 【解析】12log (1)2(2)3x f -+=⇒=5. 91)x二项展开式中的常数项为【解析】3984C = 6.椭圆2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)的右焦点坐标为【解析】22143x y +=,右焦点为(1,0) 7. 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为【解析】交点25(,)33代入最大,16323f x y =+=8.函数2()cos 2f x x x =,x ∈R 的单调递增区间为 【解析】1()sin(2)62f x x π=++,∴单调递增区间为[,]36x k k ππππ∈-+,k ∈Z9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时,量得水面宽为8米,当水面下降1米后,水 面的宽为 米【解析】设2y ax =,代入(4,2)-,∴18a =-,∴2138x x -=-⇒=10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0),则该四面体的体积为【解析】111463-⨯= 11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在[0,)+∞上是增函数,如果对于任意[1,2]x ∈,(1)(3)f ax f x +≤-恒成立,则实数a 的取值范围是【解析】|1|3ax x +≤-在[1,2]x ∈恒成立,|1|2a +≤且|21|1a +≤,解得[1,0]a ∈- 12. 已知函数2()57f x x x =-+,若对于任意的正整数n ,在区间5[1,]n n+上存在1m +个 实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ,使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立,则m 的最大 值为 【解析】min 59()2n n +=,∴在区间9[1,]2上最大值为919()24f =,最小值为53()24f =, 19316444÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,即m 的最大值为6二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13. 已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ,若12||1x x -=,则实数p 的值为( )A. B. C. D.【解析】由0∆<,排除B 、C 、D ,选A14. 在复数运算中下列三个式子是正确的:(1)1212||||||z z z z +≤+;(2)1212||||||z z z z ⋅=⋅;(3)123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅,相应的在向量运算中,下列式子:(1)||||||a b a b +≤+;(2)||||||a b a b ⋅=⋅;(3)()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅,正确的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】① 正确,②③错误,选B15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为:“今来海上升高望,不到蓬莱不成仙。

”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的( ) A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【解析】不到蓬莱→不成仙,∴成仙→到蓬莱,选A16. 设P 、Q 是R 上的两个非空子集,如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足:(1){()|}Q f x x P =∈;(2)对任意12,x x P ∈,当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”,以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是( ) A. R →Z B. Z →Q C. [1,2](0,1)→ D. (1,2)→R【解析】根据题意,定义域为P ,单调递增,值域为Q ,由此判断,D 符合,故选D 三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17. 已知圆锥AO 的底面半径为2,母线长为,点C 为圆锥底面圆周上的一点,O 为 圆心,D 是AB 的中点,且2BOC π∠=.(1)求圆锥的全面积;(2)求直线CD 与平面AOB 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)【解析】(1)圆锥的底面积214S r ππ== ……………3分圆锥的侧面积2S rl π==……………3分圆锥的全面积124(1S S S π=+=……………1分 (2)2BOC π∠=OC OB ∴⊥ 且OC OA ⊥,OC ⊥平面AOB ……………2分CDO ∴∠是直线CD 与平面AOB 所成角 ……………1分在Rt CDO 中,2OC =,OD =, ……………1分tan CDO ∠=,CDO ∴∠=……………2分 所以,直线CD 与平面AOB所成角的为……………1分18. 在ABC ∆中,边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.(1)若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b Ab a BC a b A-=-+-,求角C 的大小; (2)若4sin 5A =,23C π=,c =ABC ∆的面积. 【解析】(1)由题意,()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-;……………2分 由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-,∴222c a b ab =+-,……………2分∴2221cos 22a b c C ab +-==,∴3C π=;……………2分 (2)由4sin 5A =,c =sin sin a c A C =,∴85a =;…………2分由23a c A C π<⇒<=,∴3cos 5A =,…………2分∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=;…………2分∴1sin 2ABC S ca B ∆==…………2分 19. 已知双曲线22:1C x y -=.(1)求以右焦点为圆心,与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程;(2)若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ,求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.【解析】(1)2F …………1分 渐近线 0x y ±=………1分1R =…………2分22(1x y +=………………2分(2)设经过点B 的直线方程为1y kx =-,交点为1122(,),(,)M x y N x y ………………1分22221(1)2201x y k x kx y kx ⎧-=⇒-+-=⎨=-⎩…1分则212121,0010k x x k x x ⎧≠∆>⎪+>⇒<<⎨⎪>⎩…2分 MN 的中点为221(,)11k k k ----,…1分 得中垂线2211:()11kl y x k k k+=-+--…1分 令0x =得截距2222211t k k -==>--………………2分 即线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围是(2,)+∞.20. 已知函数()y f x =定义域为R ,对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-. (1)若(1)3f =-,求(16)f 的值;(2)若(1,2]x ∈时,2()22f x x x =-+,求函数()y f x =,(1,8]x ∈的解析式及值域; (3)若(1,2]x ∈时,3()||2f x x =--,求()y f x =在区间(1,2]n ,*n N ∈上的最大值与最 小值. 【解析】(1)(1)3f =-且(2)2()f x f x =-(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分 22(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分33(2)3(2)f ∴=-⋅-………1分 44(16)(2)3(2)48f f ∴==-⋅-=-……1分(2)(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-,(1,2]x ∈时,22()22(1)1f x x x x =-+=-+,()(1,2]f x ∈……………1分 (2,4]x ∈时,221()2()2[(1)1](2)2222x x f x f x =-=--+=---,……………1分()[4,2)f x ∈--……………1分(4,8]x ∈时,2211()2()2[(2)2](4)42224x x f x f x =-=----=-+,……………1分()(4,8]f x ∈……………1分得:222(1)1,(1,2]1()(2)2,(2,4]21(4)4,(4,8]4x x f x x x x x ⎧⎪-+∈⎪⎪=---∈⎨⎪⎪-+∈⎪⎩,值域为[4,2)12](4,8]--(,……………1分(3)(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-当(1,2]x ∈时,3()2f x x =--得:当2(2,2]x ∈时,()2()32x f x f x =-=-……1分当1(2,2]n nx -∈时,1(1,2]2n x -∈,21122113()2()(2)()(2)()(2)(1)3222222n n n n n n x x x x f x f f f x -----=-=-=-=---=--⋅……………2分当1(2,2]n nx -∈,n 为奇数时,22()32[,0]4nn f x x -=--⋅∈-当1(2,2]n n x -∈,n 为偶数时,22()32[0,]4n n f x x -=-⋅∈综上:1n =时,()f x 在(1,2]上最大值为0,最小值为12-……………1分2n ≥,n 为偶数时,()f x 在(1,2]n上最大值为24n ,最小值为28n -……………1分3n ≥,n 为奇数时,()f x 在(1,2]n上最大值为28n ,最小值为24n -……………1分21. 已知数列{}n a 中11a =,前n 项和为n S ,若对任意的*n N ∈,均有n n k S a k +=-(k 是常数,且*k N ∈)成立,则称数列{}n a 为“()H k 数列”. (1)若数列{}n a 为“(1)H 数列”,求数列{}n a 的前n 项和n S ;(2)若数列{}n a 为“(2)H 数列”,且2a 为整数,试问:是否存在数列{}n a ,使得211||40n n n a a a -+-≤对一切2n ≥,*n N ∈恒成立?如果存在,求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值,如果不存在,请说明理由;(3)若数列{}n a 为“()H k 数列”,且121k a a a ==⋅⋅⋅==,证明:211(1)2n kn k k a -+-≥+. 【解析】(1)数列{}n a 为“()1H 数列”,则11n n S a +=-,故121n n S a ++=-,两式相减得:212n n a a ++=, …………………1分又1n =时,121a a =-,所以2122a a ==,………………1分 故12n n a a +=对任意的N*n ∈恒成立,即12n na a +=(常数), 故数列{}n a 为等比数列,其通项公式为12,*n n a n N -=∈;………………1分21,*n n S n N =-∈………………1分(2)2132321132()2N*n n n n n n n n n n S a a a a a a a n S a +++++++++=-⎧⇒=-⇒=+∈⎨=-⎩21(2,)N*n n n a a a n n ++⇒=+≥∈………………1分当*2,n n N ≥∈时,()222121111()n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a ++++++-=-+=--因为*11,(3,)n n n a a a n n N +--=≥∈,则22*1211,(3,)n n n n n n a a a a a a n n N ++-+-=-≥∈;则22*1211,(3,)n n n n n n a a a a a a n n N ++-+-=-≥∈………………2分则22*11324(3,)n n n a a a a a a n n N -+-=-≥∈,因为432a a a =+则222*113232(3,)nn n a a a a a a a n n N -+-=--≥∈………………1分 因为13132,13S a a a =-=⇒=,则2229340a a --≤,且2n =时,22340a -≤,解得:20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±-………………2分(3)*1*11(2,)(2,)n k n n k n k n n k n a S k a a a n n N a S k n n N +++--+-=+⎧⎪⇒=+≥∈⎨=+≥∈⎪⎩…………1分 110k a S k +=+>,由归纳知,20,,0k n a a +>⇒>,…………1分1211,1k k a a a a k +=====+,由归纳知,*1,()n n a a n N +≤∀∈,…………2分则*11112(2,)n k n k n n k n k n k a a a a a a n n N ++-+-+-+-=+≤+=≥∈*12(2,)n k n k a a n n N ++-≤≥∈…………1分*122121111,()222n k n k n k n k k a a a a n N ++++++--⇒≥≥≥≥∈…………1分 于是*2212111(1),()2n k n k n k n k k a a a a n N ++-++--=+≥+∈ 于是1*2211(1),()2n n k k k a a n N -+-≥+∈…………1分 22k k a S k k =+=,∴112111111(1)2(1),(2(1))222n n k k n k k k k a k k ----+---≥+⋅>+>+…1分结论显然成立.。

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