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上海市2021届高三上学期一模暨春考数学模拟试卷含答案

2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十二2020.11.17一.填空题:1.不等式2log 1|021x >的解为____.2.已知复数z 满足(1+i)·z=4i (i 为虚数单位),则Z 的模为____.3.若函数y=f(x)的图像恒过点(0,1),则函数1()3y fx -=+的图像一定经过定点____.4.若一个球的体积是其半径的43倍,则该球的表面积为____.5.在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球,其中红色、黑色、白色各3只,若从袋中随机取出两个球,则至少有一个红球的概率为_____.(结果用最简分数表示)6.设(x 5236012361)(1)x a a x a x a x a x -+=+++++ ,则3a =____(结果用数值表示)7.在△ABC 中,边a 、b 、c 满足a+b=6,∠C=120°,则边c 的最小值为____.8.若函数2y ax a =+-存在零点,则实数a 的取值范围是____.9.已知数列{}n a 中,111,(1)1,n n a na n a +==++若对于任意的[]*2,2a n N ∈-∈、,不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立,则实数t 的取值范围为____.10.已知函数22()(815)()(,,)f x x x ax bx c a b c =++++∈R 是偶函数,若方程21ax bx c ++=在区间[1,2]上有解,则实数a 的取值范围是____.11.设P是长为123456A A A A A A 的边上的任意一点,长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦,PM PN ⋅ 的取值范围为____.12.若M 、N 两点分别在函数y=f(x)与y=g(x)的图像上,且关于直线x=l 对称,称M 、N 是y=f(x)与y=g(x)的一对“伴点”(M 、N 与N 、M 视为相同的一对),已知2(),()||12x f x g x x a x ⎧<⎪==++≥,若y=f(x)与y=g(x)存在两对“伴点”,则实数a 的取值范围为____.二.选择题:13.下列命题正确的是()(A)如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行(B)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面(D)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行14.“m ∈{1,2}”是“lnm<1”的成立的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.已知点A(1,-2),B(2,0),P 为曲线y =,则AP AB ⋅ 的取值范围为()(A)[1,7](B)[-1,7]()[1,3C +()[1,3D -+16.直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点11(,),P a b则ab 的最大值为()7.6A .4B -.5C -.6D -三.解答题:17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数2()2cos 2.f x x x =+(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)在△ABC 中,6BC BA ⋅= ,若函数f(x)的图像经过点(B,2),求△ABC 的面积.18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图所示,某地出土的一种“钉”是由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖直向上,并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O,钉尖为i A (i=1,2,3,4).(1)记(0)i OA aa =>,当123A A A 、、在同一平面内时,求1OA 与平面123A A A 所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(2)若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为2,要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(耗损忽略不计),共需要该种材料多少米?19.(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t (小时)满足关系式:22016E t t a =++;②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.(1)当a=1时,写出累积经验值E 与游玩时间t 的函数关系式E=f(t),并求出游玩6小时的累积经验值;(2)该游戏厂商把累积经验值E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a>0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a 的取值范围.20、已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的焦距为4,直线() :40 l x my m --=∈R 与l 交于两个不同的点D 、E,且m=0时直线l 与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.(1)求双曲线l 的方程;(2)若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部,求实数m 的取值范围;(3)设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点,线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P,交直线AD 于点Q,求证:线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.21、已知平面直角坐标系xOy,在x 轴的正半轴上,依次取点*123,,,()nA A A A n N ∈ ,并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点*123,,(,,)n B B B B n N ∈ ,使得*1()k k k A B A k N -∆∈都为等边三角形,其中0A 为坐标原点,设第n 个三角形的边长为f(n).(1)求f(1),f(2),并猜想f(n)(不要求证明);(2)令9()8n a f n =-,记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)m m 内的项的个数,设数列的前m 项和为,m S 试问是否存在实数λ,使得2m S λ≤对任意*m N ∈恒成立?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,说明理由;(3)已知数列{}n b 满足:11,2n b b +==数列{}n c 满足:111,n nc c +==求证:1().2n n n b f c π+<<参考答案:一.填空题:1、4(,)+∞;2、22;3、()13,;4、4;5、712;6、0;7、;8、3[0,3;9、(],1-∞-;10、11[,]83;11、[6-+;12、(3-+;二.选择题:13、D;14、A;15、A;16、B;三.解答题:17、(1),,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤=∈-+∈⎢⎥⎣⎦;(2)3π;18、(1)322arccos ;(2)42162米。

19、(1)35;(2)1[,)4a ∈+∞.20.(1)当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形,由根据双曲线的性质得,2221tan 303b a == ,又焦距为4,则224a b +=,…………………3分解得a =1b =,则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分(2)设11(,)D x y ,22(,)E x y ,由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩,得22(3)8130m y my -++=,则12283m y y m +=-,122133y y m =-,且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>,………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内,则0OD OE ⋅< ,即12120x x y y +<,即1212(4)(4)0my my y y +++<,即212124()(1)160m y y m y y ++++<,则22221313816033m m m m +-+<--,……………………………4分即223503m m -<-,则153m <<-或153m <<,即实数m的取值范围1515()33- .…………………6分(3)线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -.设00(,)D x y,由(1)得点B ,又点P 是线段BD 的中点,则点003(,)22x y P +,……………2分直线BD,直线AD,又BD PQ ⊥,则直线PQ的方程为0000()22y x x y x y -+-=-,即200000322x x y y x y y --=++,又直线AD的方程为y x =+,联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去y化简整理,得2220003)22x y x x x --++=+,又220013x y =-,代入消去20y,得20002(3)1)(33x x x x x --+=-+,即02(3)1(33x x x +-+=,则0234x x =,即点Q的横坐标为024x +,……………5分则4p q x x -==.故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.……6分说明:看作是PQ 在OB 或(1,0)i = 方向上投影的绝对值,请相应评分.21、解:(1)(1)1f =,(2)2f =,猜想()f n n =;(2)98n a n =-,由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n ,21199m m m t --∴=-,352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=--,2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S ;(3)1sin ,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==,则1sin sin 2n n θθ+==*1()2n n n N πθ+⇒=∈,1tan,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==,则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈,11sin ,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时,sin tan x x x <<可知:1111sin ()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<=。

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